《基于张量网络的学习入门》学习笔记2

量子逻辑门
- 单量子逻辑门
- - 恒等操作
  - 泡利-X门(Pauli-X gate)
  - 泡利-Y门(Pauli-Y gate)
  - 泡利-Z门(Pauli-Z gate)
  - 阿达马门(Hadamard Gate)
  - 量子旋转门
  - 总结
- 双量子逻辑门
- - 受控非门CNOT(Control-NOT gate)
  - 受控互换门SWAP(Swap gate)
- 三量子逻辑门
- - Toffoli门CCNOT(Controlled-Controlled-NOT gate)
- 量子门操作与并行计算

量子逻辑门

量子信息处理的本质就是对编码的量子态进行一系列的幺正演化，对qubit最基本的幺正操作被称为逻辑门。在量子计算机的运算中，经常用量子位和量子逻辑门的量子电路来描述。

单量子逻辑门

恒等操作

I=(1001)=∣0><0∣+∣1><1∣\displaystyle I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left| 0 \right> \left< 0 \right| + \left| 1 \right> \left< 1 \right| I=(1001)=∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣
这里的∣0⟩⟨0∣\mathinner{|0\rangle}\mathinner{\langle0|}∣0⟩⟨0∣是左右矢的外积

泡利-X门(Pauli-X gate)

泡利-X门操作单个量子比特，相当于经典的逻辑非门。如操作前量子位为∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩，经过泡利-X门后会转换为∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩.
其矩阵表示为：

泡利-Y门(Pauli-Y gate)

泡利-Y门操作单个量子比特，类似于复数操作
其矩阵表示为：

泡利-Z门(Pauli-Z gate)

泡利-Z操作单个量子比特，保持∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩不变，将∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩换成-∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩
其矩阵表示为：

原理：

阿达马门(Hadamard Gate)

阿达马门操作单个量子比特，对∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩或者∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩进行操作，将其转化为叠加态。
其矩阵表示为：

阿达马门将基矢∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩和∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩分别变成∣+⟩=(12)(∣0⟩+∣1⟩)\mathinner{|+\rangle}=(\frac{1}{{\sqrt 2 }})(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})∣+⟩=(21)(∣0⟩+∣1⟩)和∣−⟩=(12)(∣0⟩−∣1⟩)\mathinner{|-\rangle}=(\frac{1}{{\sqrt 2 }})(\mathinner{|0\rangle}-\mathinner{|1\rangle})∣−⟩=(21)(∣0⟩−∣1⟩)，即∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩和∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩的均匀叠加态，系统以12\frac{1}{2}21的概率处于∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩和∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩态。量子保密通信中常用HHH变换来产生这种最大“不确定态”以保证安全性

量子旋转门

量子旋转门是量子遗传算法中用于更新操作的逻辑门。
其矩阵表示为：

其中，θ\thetaθ为旋转角度，并且对于任意的叠加态∣ψ⟩\mathinner{|\psi\rangle}∣ψ⟩进行旋转变换，可以得到：

总结

对于单一量子比特，常用的333个量子逻辑门为：

重要的的单量子逻辑门及其表示：

双量子逻辑门

受控非门CNOT(Control-NOT gate)

操作两个量子比特，第二个量子比特只有在第一个量子比特为∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩的时候才可以进行NOTNOTNOT操作，否则整个双量子态保持不变。
其矩阵表示为：

在此基础上，能得到一些简单的控制非门的输入、输出关系：

详细计算过程：

受控互换门SWAP(Swap gate)

操作对象为两个量子比特，作用是交换两个量子比特的量子位。
例：输入∣a,b⟩\mathinner{|a,b\rangle}∣a,b⟩列，输出∣b,a⟩\mathinner{|b,a\rangle}∣b,a⟩列

三量子逻辑门

Toffoli门CCNOT(Controlled-Controlled-NOT gate)

操作三个量子比特，是一种通用可逆逻辑门。输入端有三个量子比特，第一个和第二个均为控制比特，最后一个量子比特事目标比特；如果前两个量子比特是∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩,则对第三个量子比特进行类似于经典的逻辑非门处理，否则整个三量子态不做操作。真值表如下：

量子门操作与并行计算

我们知道，量子计算机优于传统计算机的地方，在于它能进行并行操作，而不是“一步一步来”。这里简单说明一下量子计算机并行计算的原理。
假设有两个量子比特的初始状态为[1,0,0,1][1,0,0,1][1,0,0,1]，XXX门变换后，得到的结果会是[0,1,1,0][0,1,1,0][0,1,1,0]，此时，向量中的四个元素位置发生了改变，这就是量子纠缠带来的超高的并行性。那么，假如有20个量子比特处于完全纠缠状态，那么，一步操作，就相当于112589990682624112589990682624112589990682624个矩阵元素同时进行操作，相当于计算机有112589990682624112589990682624112589990682624个线程同时运行，计算效率远超目前的计算机。

本周就学到这里，我们下周见，希望感兴趣的朋友点点关注。

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