问题 B: 数塔问题

题目描述

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

输入

第一行是一个整数N(1 <= N <= 20)，表示数塔的高度，接下来用N个数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

输出

输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

样例输入

5
9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16

样例输出

max=59

题目分析：
我们可以看出来，这道题目如果使用贪心算法不能保证找到真正的最大和。
所以我们在选择用动态规划的时候，考虑数塔问题时可以自上向下的分析，自底向上的计算。

算法实现：首先利用一个二维数组a[100][100]存储数塔的原始数据(只用下三角形矩阵)，然后利用一个中间数组f[100][100]存储每一次决策过程中的结果（也是一个下三角矩阵）。
初始化f数组，先将a数组的最后一层拷贝到f中。接下来，再让f数组的每一层等于f数组下一层中两个数中最大的数，代码为：f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j]，最后我们想要的结果就保存在f[0][0]中。
对于上面的数塔，我们的a数组如下：

9
12	15
10	6	8
2	18	9	5
19	7	10	4	16

f数组如下

59
50	49
38	34	29
21	28	19	21
19	7	10	4	16

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int a[100][100],f[100][100];int n,i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++){cin>>a[i][j];}}for(i=n;i>=1;i--){for(j=1;j<=i;j++){f[i][j] = max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];}}cout<<"max="<<f[1][1];
}

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