高等数学笔记-乐经良老师

第六章微分方程

第一节微分方程基本概念

一、引例

01 Malthus 模型

人口总数——P(x)单位时间人口增长率——r从t→t+Δt，P(t+Δt)−P(t)Δt=rP(t)⇒dPdt=rP←含未知函数一阶导数称为一阶微分方程。\begin{aligned} & 人口总数——P(x)\\ & 单位时间人口增长率——r\\ & 从 t \rightarrow t+ \Delta t，\frac{P(t+ \Delta t)-P(t)}{\Delta t}=rP(t)\\ & \Rightarrow \frac{dP}{dt}=rP \quad \leftarrow 含未知函数一阶导数\\ & 称为一阶微分方程。 \end{aligned} 人口总数——P(x)单位时间人口增长率——r从t→t+Δt，ΔtP(t+Δt)−P(t)=rP(t)⇒dtdP=rP←含未知函数一阶导数称为一阶微分方程。

02 假画的鉴定问题

二战结束时，Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审，Meegeren辩称那些画是他自己所作假，其中包括绘画大师Vermeer的′′基督与长老′′，这画的鉴定直至1960年代才解决。画颜料中含有放射性物质m(例如C−14)⇒dmdt=−rm(r−衰减常数)r=ln2半衰期，分析C−14衰变量的比例确定年代。\begin{aligned} & 二战结束时，Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审， Meegeren辩称那些画是他自己所作假，\\ & 其中包括绘画大师Vermeer的''基督与长老''，这画的鉴定直至1960年代才解决。 \\ & 画颜料中含有放射性物质\ m \ \ (例如 C-14)\quad\Rightarrow\frac{dm}{dt}=-rm \ (r-衰减常数)\\ & r=\frac{ln2}{\text{半衰期}}，分析\ C-14\ 衰变量的比例确定年代。 \end{aligned} 二战结束时，Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审，Meegeren辩称那些画是他自己所作假，其中包括绘画大师Vermeer的′′基督与长老′′，这画的鉴定直至1960年代才解决。画颜料中含有放射性物质 m (例如C−14)⇒dtdm=−rm (r−衰减常数)r=半衰期ln2，分析 C−14 衰变量的比例确定年代。

03 核废料的处理

美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问：安全否？实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。海面下水深度y(t)，海水密度D－1026kg/m3，桶重W－249kg，体积V－0.208m3，阻力系数k＝0.12，浮力B=VD=213.41kg.依牛顿第二定律，md2ydt2=W−B−kdydt.二阶微分方程\begin{aligned} & 美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问：安全否？\\ & 实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。\\ & 海面下水深度 y(t)，海水密度D－1026kg/m^3，桶重W －249kg，体积V－0.208m^3，\\ & 阻力系数k＝0.12，浮力B = VD=213.41kg .\\ & 依牛顿第二定律，m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=W-B-k \frac{d y}{d t} .\\ & 二阶微分方程 \end{aligned} 美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问：安全否？实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。海面下水深度y(t)，海水密度D－1026kg/m3，桶重W－249kg，体积V－0.208m3，阻力系数k＝0.12，浮力B=VD=213.41kg.依牛顿第二定律，mdt2d2y=W−B−kdtdy.二阶微分方程

二、概念

01 一般形式

F(x,y,y′,⋯,y(n))=0F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0F(x,y,y′,⋯,y(n))=0 —— nnn 阶微分方程
xxx 为自变量，yyy 为函数

02 相关概念

微分方程：含有未知函数导数的等式。
方程的阶：未知函数导数的最高阶数。
方程的解：一个满足方程的已知函数。
- 通解：含有独立任意常数个数等于方程的阶的解。
- 特解：同阶中任意常数确定的解。
- 奇解：不能被通解所表示的解。
- 全部解：全部解 = 通解 + 奇解 .
定解条件：确定特解的条件。包括初始条件和边界条件。
定解问题：方程 + 定解条件。

第二节一阶微分方程

一、可分离变量方程

01 可分离变量方程

定义
- 若一阶微分方程可以化为 g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx ( 标准形式 ) 的形式，则称此方程为可分离变量方程。
形式
- g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx （标准形式）
- dydx=f(x)h(y)\frac{d y}{d x}=f(x)h(y)dxdy=f(x)h(y) （其它形式）
解法

(1) 化标准： g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx

(2) 两边积分：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C\int g(y)dy=\int f(x)dx+C∫g(y)dy=∫f(x)dx+C（ CCC 为任意常数）
注意
- 对于其他形式 dydx=f(x)h(y)\frac{d y}{d x}=f(x)h(y)dxdy=f(x)h(y) ，化标准时要讨论 h(y)h(y)h(y) 是否等于 000 。
- 使 h(y)=0h(y)=0h(y)=0 的常数 y=Cy=Cy=C 也是方程的解。

02 可化可分离变量方程

(1) 可化可分离变量方程⋅\cdot⋅其一

形式
- y′=f(ax+by+c)(b≠0)y^{\prime}=f(a x+b y+c) \quad(b \neq 0) y′=f(ax+by+c)(b=0)
解法
- 令z=ax+by+c⇒dzdx=bf(z)+a\text{令}z=a x+b y+c \Rightarrow \frac{d z}{d x}=b f(z)+a 令z=ax+by+c⇒dxdz=bf(z)+a
- 令 z=ax+by+cz=ax+by+cz=ax+by+c ⇒\Rightarrow⇒ f(z)dz=?f(z)dz=?f(z)dz=? 等学到这里仔细研究哦

(2) 可化可分离变量方程⋅\cdot⋅其二

形式
- y′=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)y^{\prime}=f\left(\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}{a_{2} x+b_{2} y+c_{2}}\right) y′=f(a2x+b2y+c2a1x+b1y+c1)
- 只需讨论 c1,c2c_{1}, c_{2}c1,c2 不全为零，且 a1a2≠b1b2\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}a2a1=b2b1 (此时为准齐次方程)
解法
- 令 X‾=x−x0\overline{X}=x-x_{0}X=x−x0，Y‾=y−y0\overline{Y}=y-y_{0}Y=y−y0，其中 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 满足 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{array}\right.{a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

二、一阶齐次方程

定义
- 若方程 dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx}=f(x,y)dxdy=f(x,y) 的右端 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可化为 g(yx)g(\frac{y}{x})g(xy) 的形式，则称此方程为一阶齐次方程。
- 零次齐次函数：若方程 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 满足 f(x,y)=f(λx,λy)λ≠0f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)\,\ \lambda\neq0f(x,y)=f(λx,λy) λ=0，则此函数称为零次齐次函数。
形式
dydx=g(yx)\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) dxdy=g(xy)
解法
(1)化标准:dydx=g(yx)(2)换元:设u=yx⇒y=ux⇒y′=u+xu′(3)代入:得到x⋅dudx=g(u)−y⇒dudx=g(u)−ux(可分离变量方程)\begin{aligned} & (1)\ \ 化标准:\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})\\ & (2)\ \ 换元:设\ u=\frac{y}{x}\ \Rightarrow \ y=ux \ \Rightarrow \ y'=u+xu' \\ & (3)\ \ 代入:得到\ x\cdot \frac{du}{dx}=g(u)-y\ \Rightarrow \ \frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x} \ \ (可分离变量方程) \end{aligned} (1) 化标准:dxdy=g(xy)(2) 换元:设 u=xy ⇒ y=ux ⇒ y′=u+xu′(3) 代入:得到 x⋅dxdu=g(u)−y ⇒ dxdu=xg(u)−u (可分离变量方程)

三、一阶线性方程

01 定义

dydx+P(x)y=Q(x)或y′+P(x)y=Q(x)(对应的齐次方程:dydx+P(x)y=0)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\ 或\ y'+P(x)y=Q(x)\quad(对应的齐次方程:\frac{dy}{dx}+P(x)y=0) dxdy+P(x)y=Q(x) 或 y′+P(x)y=Q(x)(对应的齐次方程:dxdy+P(x)y=0)

02 形式

y′+P(x)y=Q(x)y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)
Q(x)Q(x)Q(x) 为非齐次项

03 解法

常数变易法
先考虑特殊情况 Q=0Q=0Q=0 时的解，再在通解中将常数变换成待定函数。

04 公式

y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)\begin{aligned} & y=e^{-\int P(x) d x}\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x}dx+C\right) \end{aligned} y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)
$ \int P(x) d x$ 表示一个原函数

五、伯努利方程

01 形式

y′+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n} \quad(n \neq 0,1) y′+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)
当 n=0n=0n=0 时，方程为一阶线性方程。
当 n=1n=1n=1 时，方程为可分离变量方程。

02 解法

(1)代换z=y1−n(2)z′+(1−n)Pz=(1−n)Q（线性方程）\begin{aligned} & (1)\ \ \text{代换} z=y^{1-n} \\ & (2)\ \ z^{\prime}+(1-n) P z=(1-n) Q \text{（线性方程）} \end{aligned} (1) 代换z=y1−n(2) z′+(1−n)Pz=(1−n)Q（线性方程）

第三节可降阶的高阶微分方程

一、 y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x) 型方程

解法
- 积分一次，就降阶一次。
- y(n−1)=∫f(x)dx+c1y^{(n-1)}=\int f(x) d x+\mathrm{c}_{1}y(n−1)=∫f(x)dx+c1
- 逐次积分就可以求出通解。

二、 y′′=f(x,y′)y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)y′′=f(x,y′) （缺 yyy 型）

解法
- 设 y′=p⇒dpdx=f(x,p)\begin{aligned} & \text{设} \ y^{\prime}=p \Rightarrow \frac{d p}{d x}=f(x, p) \end{aligned} 设 y′=p⇒dxdp=f(x,p)

三、 y′′=f(y,y′)y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)y′′=f(y,y′) （缺 xxx 型）

解法
- 设 y′=p⇒pdpdy=f(y,p)\begin{aligned} & \text{设} \ y^{\prime}=p \Rightarrow p \frac{d p}{d y}=f(y, p) \\ \end{aligned} 设 y′=p⇒pdydp=f(y,p)
- 注意以 yyy 为自变量

第四节线性微分方程解的结构

〇、线性微分方程解的结构基础

01 nnn 阶线性微分方程标准形式

标准形式
- y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f(x)y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f(x)y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f(x)
- p1(x),⋯,pn(x)p_{1}(x), \cdots, p_{n}(x)p1(x),⋯,pn(x) ——方程的系数
- f(x)f(x)f(x) ——非齐次项
特点：方程中各项关于未知函数及其导数均不超过一次。
齐次线性微分方程
- f(x)=0f(x)=0f(x)=0 时，得到 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=0y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0
- 称为对应的齐次线性微分方程。

02 线性方程叠加原理

y1(x)y_1(x)y1(x) 是方程 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f1(x)\ y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f_{1}(x) y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f1(x) 的解。
y2(x)y_2(x)y2(x) 是方程 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f2(x)\ y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f_{2}(x) y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f2(x) 的解。
联立两方程 ⇒\Rightarrow⇒
c1y1(x)+c2y2(x)c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)c1y1(x)+c2y2(x) （ c1,c2c_1,c_2c1,c2 为任意常数）是方程

p(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=c1f1(x)+c2f2(x)p^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)p(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=c1f1(x)+c2f2(x) 的解。

03 推论（齐次线性方程的性质）

y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 是方程 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=0y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0 的解。
⇒\Rightarrow⇒ c1y1(x)+c2y2(x)c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)c1y1(x)+c2y2(x) （ c1,c2c_1,c_2c1,c2 为任意常数）此方程的解。

一、二阶齐次线性微分方程解的结构

00 二阶齐次线性方程标准形式

y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL)y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 \quad (HL) y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL)

01 线性相关与无关

线性相关与线性无关的概念
- 对函数 y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x), 若有不全为零常数 c1,c2c_{1}, c_{2}c1,c2，
- 使 c1y1(x)+c2y2(x)≡0c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \equiv 0c1y1(x)+c2y2(x)≡0 ，
- 则称 y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 线性相关，否则称它们线性无关。
线性相关的充要条件
y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 线性相关 ←——→充分必要条件 \stackrel{\text { 充分必要条件 }}{\leftarrow——\rightarrow}←——→ 充分必要条件其中一个是另一个的常数倍

02 解的结构定理

解的结构定理
- 若 y1(x)、y2(x)y_{1}(x) 、 y_{2}(x)y1(x)、y2(x) 是方程 (HL)(H L)(HL) 的两个线性无关的解，称它们为方程的基本解组，
- 若 y1(x)、y2(x)y_{1}(x) 、 y_{2}(x)y1(x)、y2(x) 是方程 (HL)(H L)(HL) 的两个线性无关的解，
  
  那么通解 c1y1(x)+c2y2(x)(c1,c2任意常数 )\mathrm{c}_{1} y_{1}(x)+\mathrm{c}_{2} y_{2}(x) \quad\left(c_{1}, c_{2} \text { 任意常数 }\right)c1y1(x)+c2y2(x)(c1,c2 任意常数 ) ，
  
  给出了方程 (HL)(H L)(HL) 的所有解。
- 方程 (HL)(H L)(HL) 的所有解构成了一个二维线性空间，基本解组是它的一组基。
求解二阶齐次线性方程
- 求解二阶齐次线性方程归结为求出两个线性无关的解（即基本解组）。
- 如何求这方程两个线性无关的特解？==> 刘维尔公式

03 刘维尔公式

刘维尔公式
- 若 y1(x)y_{1}(x)y1(x) 是 (HL)(H L)(HL) 的非零解，
- 那么 y2=y1∫1y12e−∫p(x)dxdxy_{2}=y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(x) d x} d xy2=y1∫y121e−∫p(x)dxdx 是方程与 y1(x)y_{1}(x)y1(x)线性无关的解。
- 常数变易法
求方程 (HL)(H L)(HL) 的解
- 求方程 (HL)(H L)(HL) 的解归结为求出一个非零特解。
- 如何求一个特解？
  
  简单形式方程常使用观察法找出特解
  
  xmx^{m}xm，ecxe^{c x}ecx，sin⁡mx\sin m xsinmx 或 cos⁡mx\cos m xcosmx

二、二阶线性非齐次方程解的结构

01 二阶线性非齐次方程的标准形式

y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)(NHL)y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x) \quad (NHL) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)(NHL)

02 对应的齐次线性方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL)y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 \quad (HL) y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL)

03 解的结构定理

解的结构定理
- 设 y∗(x)y^{*}(x)y∗(x) 是非齐次方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的解，
- 而 y1(x)y_{1}(x)y1(x), y2(x)y_{2}(x)y2(x) 是对应的齐次方程的基本解组，
- 那么通解 y=y∗(x)+c1y1(x)+c2y2(x)y=y^{*}(x)+c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)y=y∗(x)+c1y1(x)+c2y2(x) (c1,c2\left(c_{1}, c_{2}\right.(c1,c2 是任意常数）
- 给出了方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的全部解。
求非线性方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的通解
- 求非线性方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的通解，只要求出一个特解和对应齐次方程的一个基本解组。
- 如何求出方程的特解呢？
  
  常用方法是常数变易法。
问题和思考
- 如何定义 nnn 阶线性微分方程的 nnn 个解线性无关和基本解组。
- nnn 阶齐次线性方程的解的结构。
- nnn 阶非齐次线性方程的解的结构。

第五节常系数线性微分方程

一、常系数线性齐次方程

01 常系数线性齐次方程

二阶方程形式 y′′+py′+qy=0y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0y′′+py′+qy=0 ，其中 ppp，qqq 为常数。
令 y=erxy=e^{r x}y=erx, 得到 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 ，称为特征方程，
这方程的两个根称为特征根。

02 特征根的情况讨论

特征方程有相异实根： r1,r2r_{1}, r_{2}r1,r2
- 基本解组：er1x,er2xe^{r_{1} x}, e^{r_{2} x}er1x,er2x
特征方程有相同实根： rrr
- 基本解组：erx→刘维尔公式xerxe^{r x}\xrightarrow{刘维尔公式} x e^{r x}erx刘维尔公式xerx
特征方程有共轭复根： α±iβ\alpha \pm i \betaα±iβ
- 基本解组：e(α+iβ)xe^{(\alpha+i \beta) x}e(α+iβ)x，e(α−iβ)xe^{(\alpha-i \beta) x}e(α−iβ)x
- 欧拉公式：eix=cos⁡x+isin⁡xe^{i x}=\cos x+i \sin xeix=cosx+isinx
- 由欧拉公式，可联立基本解组化简为：eaxcos⁡βxe^{a x} \cos \beta xeaxcosβx，eaxsin⁡βxe^{a x} \sin \beta xeaxsinβx

二阶齐次常系数微分方程的通解

特征根情况	通解形式
相异实根 r1,r2r_1,r_2r1,r2	c1er1x+c2er2xc_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}c1er1x+c2er2x
相同实根 rrr	c1erx+c2xerxc_{1} e^{r x}+c_{2} x e^{r x}c1erx+c2xerx
共轭复根 α±iβ\alpha \pm i\betaα±iβ	c1eαxcos⁡βx+c2eαxsin⁡βxc_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \sin \beta xc1eαxcosβx+c2eαxsinβx

问题与猜测

二阶齐次常系数微分方程基本解组的结论如何推广到 nnn 阶齐次常系数微分方程？

二、常系数线性非齐次方程

01 常系数线性非齐次方程

方程形式 y′′+py′+qy=f(x)y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)y′′+py′+qy=f(x) ，其中 ppp，qqq 为常数。
求出对应齐次方程基本解组后，可用常数变易法求出特解。
非齐次项 f(x)f(x)f(x) 为某些特殊形式时，则可用待定系数法来求特解。

02 两类方程的特解

(1) Ⅰ类方程

Ⅰ类方程 f(x)=(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)eλxf(x)=\left(b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m-1} x+b_{m}\right) e^{\lambda x}f(x)=(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)eλx
方程的特解形式为 y∗=xk(B0xm+B1xm−1+⋯+Bm)eλxy^{*}=x^{k}\left(B_{0} x^{m}+B_{1} x^{m-1}+\cdots+B_{m}\right) e^{\lambda x}y∗=xk(B0xm+B1xm−1+⋯+Bm)eλx
kkk 是 λ\lambdaλ 作为特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 的根的重数 ( λ\lambdaλ 不是特征根是为 0 重根)
根的重数：有几个相同的根，重数就是几。
- 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 有相异实根：根的重数为1
- 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 有相同实根：根的重数为2
- 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 没有实根：根的重数为0
因此 kkk 可能的取值为 0,1,20,1,20,1,2
此待定系数法适用于高阶非齐次常系数线性方程和非齐次项 f(x)f(x)f(x) 为复数的情况

(2) Ⅱ类方程

Ⅱ类方程 f(x)=[P(x)cos⁡βx+Q(x)sin⁡βx]eαxf(x)=[P(x) \cos \beta x+Q(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}f(x)=[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]eαx
P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 是最高次数为 mmm 的多项式
方程的特解形式 y∗=xk[A(x)cos⁡βx+B(x)sin⁡βx]eαxy^{*}=x^{k}[A(x) \cos \beta x+B(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}y∗=xk[A(x)cosβx+B(x)sinβx]eαx
kkk 是 α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 作为特征方程 r2+pr2+q=0r^2+pr^2+q=0r2+pr2+q=0 的根的重数（若不是特征根，则认为是 0 重根）
α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 作为特征方程的根的重数
- α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 是特征方程的根，且为相异实根中的一个：k=1k=1k=1
- α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 是特征方程的根，且为相同实根：k=2k=2k=2
- α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 不是特征方程的根：k=0k=0k=0
A(x),B(x)A(x), B(x)A(x),B(x) 是 mmm 次待定多项式
注意：即使 fff 中 P=0P=0P=0（或 Q=0Q=0Q=0），所设特解中仍应同时含 cos⁡βx\cos \beta xcosβx 和 sin⁡βx\sin \beta xsinβx

(3) Ⅰ类方程与Ⅱ类方程

当方程的非齐次项是两个函数的和： f1+f2f_{1}+f_{2}f1+f2，
而 f1f_{1}f1 与 f2f_{2}f2 均具有上述 Ⅰ、Ⅱ 类函数形式，
可以分别考虑以 f1f_1f1 与 f2f_2f2 为非齐次项的两个方程，
然后根据叠加原理将求得的两个解相加即可。

三、欧拉方程

01 形式

二阶Euler方程形式：x2y′′+pxy′+qy=0x^{2} y^{\prime \prime}+p x y^{\prime}+q y=0x2y′′+pxy′+qy=0
其中 p,qp, qp,q 是实数

02 解法

变量代换：令 x=etx=e^{t}x=et

xy′=dydtx2y′′=d2ydt2−dydt=ddt(ddt−1)y→D=ddtxy′=Dyx2y′′=D(D−1)y\begin{aligned} & x y^{\prime}=\frac{d y}{d t} \quad \quad x^{2} y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d}{d t}-1\right) y \\ & \xrightarrow{D=\frac{d}{d t}}\quad x y^{\prime}=D y \quad \quad x^{2} y^{\prime \prime}=D(D-1) y\\ \end{aligned} xy′=dtdyx2y′′=dt2d2y−dtdy=dtd(dtd−1)yD=dtdxy′=Dyx2y′′=D(D−1)y

方程化为：[D(D−1)+pD+q]y=0[D(D-1)+p D+q]\ y=0[D(D−1)+pD+q] y=0
注意：正确理解符号的含义，DDD 是新定义的运算符而非一个结果。
特征方程：r(r−1)+pr+q=0r(r-1)+p r+q=0r(r−1)+pr+q=0
求出以 ttt 为自变量的方程的解 => 原方程的解