MEM/MBA数学基础（07）几何

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本章节思维导图如下所示（思维导图会持续迭代）：

第一层：

第二层：

1 平面几何

1.1 三角形

1.1.1 三角形的性质

三角形内角和定理：角A+角B+角C = 180°
三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形面积公式：S = a*h/2 = (a*b*sinC)/2，h是a 边上的高，角C是a,b边所夹的角。
中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线

1.1.2 特殊三角形

@1 直角三角形

勾股定理：c^2 = a^2+b^2，三角形是直角三角形(其中角C=90°)

重要结论：直角三角形中 30°的角所对的直角边是斜边的一半。两种特殊的直角三角形三边关系：

30°直角三角形:1: √3 : 2
等腰直角三角形:1:1: √2

直角三角形性质：

两直角边的乘积等于斜边与其高的乘积（面积公式）。
直角三角形斜边中线，等于斜边的一半。

@2 等腰三角形

等腰三角形 <=>两个底角相等 <=>两腰上的中线相等，两底角平分线相等。
等腰三角形三线合一：顶角平分线 <=>底边上的高<=>底边上的中线。

@3 等边三角形

三条边都相等，各角都相等(60°)
有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
面积为S= (√3*a^2)/4 (a为边长)

1.1.3 两个三角形的全等

判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS、HL(5 种)。
性质：对应线段(对应边，对应边上的高、中线、角平分线)均相等，且对应角、面积也相等。

1.1.4 两个三角形的相似

@1 三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

@2 相似比的定义：相似三角形对应边的比( k )叫做相似比(或相似系数)。

@3 相似性质:

相似三角形的对应角相等，对应线段成比例
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比; 面积的比等于相似比的平方

@4 相似的应用: 三角形中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。（注意：相似经常使用在直角三角形中(即射影定理，如下所示描述)）

1.2 四边形

1.2.1 四边形基本性质

四边形的内角和等于 360°;
多边形内角和定理: n边形的内角的和等于(n-2)×180°
推论:多边形的外角和是 360°.

1.2.2 平行四边形

@1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

@2 性质：

平行四边形的对边平行且相等，对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。

@3 面积与周长：若平行四边形两边长是a、b，以b为底边的高为h，则面积为S = b*h，周长 L = 2(a+b)

1.2.3 特殊的平行四边形

@1 矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等，面积 S =a*b 。

@2 菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线垂直且每一条对角线平分一组对角。面积 S = (L1*L2)/2 ，即为两条对角线乘积的一半。

@3 正方形：既是矩形，又是菱形

@4 梯形：一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形。设梯形的上底a，下底b，高h，则中位线= (a+b)/2，面积为 s= (a+b)*h/2。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。对角线相等的梯形是等腰梯形;在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

1.3 圆

@1 定义: 圆是到定点的距离等于定长的点的集合

@2 周长与面积：周长为C = 2*兀*R,面积是S=兀*R^2

@3 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

@4 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形

在扇形OAB中，若圆心角为n0，则AB弧长L = (n*兀*R)/180,扇形面积S = (n*兀*R^2)/360
若圆心角为θ 弧度，则AB弧长L=R*θ，扇形面积S = R*L/2=(R^2)*θ/2

2 立体几何

2.1 长方体

@1 长方体的定义：六个面都为矩形，长方体中的的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。当长、宽、高都相等时，称为立方体。

@2 长方体的基本公式（设长方体在同一个顶点上的三条棱长分为 a，b，c）：

体积V = a*b*c（如上图左）
全面积:S全 = 2*(a*b+b*c+a*c) （如上图左）
体对角线:d =√(a^2 + b^2 + c^2) （如上图左）
当a=b=c时，称为正方体，V=a^3,S全=6a^2,d=√3a （如上图右）

2.2 圆柱

定义：圆柱看作以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成的曲面所围成的几何体。（如下图左）

圆柱侧面展开图及侧面积：把圆柱一条母线剪开后展开在平面上，就得到它们的侧面展开图。圆柱的侧面展开图是一个矩形(见下图)，矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高(即母线长) （如下图右）

基本公式（设圆柱的高为h,底面圆半径是r ）：

体积:V=兀*(r^2)*h
侧面积:S侧 = 2*兀*r*h (其中r为底面圆的半径，h为圆柱的高) 其侧面展开图为一个长为2*兀*r，宽为h的长方形。
全面积:S全 =S侧 +S(上底+下底)=2*兀* r *h + 2*兀* r^2

2.3 球体

@1 定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。其中半圆的圆心叫做球的球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

@2 基本公式（设球的半径为 R）：

球的表面积公式:S表=4*兀*R^2或S表=兀*D^2 (D是球的直径)
球的体积公式:V体 = 4*兀*(R^3)/3 =兀*(D^3)/6 (D是球的直径)

3 平面解析几何

3.1 点

两点之间直线距离：在平面直角坐标系中，设点A(x,y),B(x,y)，则AB =√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
中点坐标公式：点P(x,y)是线段P1-P2的中点，其中P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则P点坐标为( (x1+x2)/2，(y1+y2)/2 )
三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心坐标是: G( (x1+x2+x3)/3 , (y1+y2+y3)/3 )。

3.2 直线

@1 直线的倾斜角与斜率：

直线的倾斜角：一条直线L向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。特殊地当直线L和x轴平行时，倾斜角为0°，故倾角范围为：0° <α<180°
直线的斜率：倾斜角不是 90°的直线的倾斜角的正切叫做此直线的斜率。直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度。直线的斜率常用 k 表示，即 k = tanα . 注意:垂直于 x 轴的直线没有斜率( α≠90° )。当 α = 兀/2 时，直线的斜率不存在。同时过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k = (y2-y1)/(x2-x1)。

@2 直线的方程（共5类：点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）：

点斜式：y-y1 =k(x-x1) (说明：直线L过点P(x1,y1)，且斜率为k)
斜截式：y = k*x+b,斜率为k,在y轴上的截距为b （注意：它不含垂直于 x 轴的直线）
一般式：Ax+By+C = 0（说明：其中A、B不同时为0，斜率为：-A/B）
两点式：(y-y1)/ (y-y2) = (x-x1)/(x-x2) (说明：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，注意：(x1≠x2,y1≠y2)即它不能表示倾斜角为0°和90°的直线)
截距式：x/a+y/b=1（说明：已知x轴上的截距为a，y轴上的截距为b）

@3 两直线的位置关系：

设不重合的两条直线为L1：A1*x+B1*y+C1=0, L2：A2*x+B2*y+C2=0

@@3.1 相交：下面方程组有唯一实数解，表示两条直线彼此相交

@@3.2 平行：满足以下条件即表示平行：

@@3.3 垂直：满足以下条件即表示垂直：

@@3.4 两条平行直线的距离公式为（两条直线为L1：A1*x+B1*y+C1=0 和 L2：A2*x+B2*y+C2=0 彼此平行）：

@4 点到直线的距离公式

平面内一点P(x0,y0)到直线L：Ax+By+C=0的距离公式为：

@5点关于特殊直线的对称点问题

设点P(x0,y0)是直角坐标系内任意一点，则点P(x0,y0)

关于x轴的对称点为(x0 , -y0 );
关于 y 轴的对称点为 (-x0 , y0 );
关于原点的对称点为(-x0 , -y0);
关于点 A(a, b) 的对称点为 (2a-x0 , 2b-y0 );
关于直线x=a的对称点为(2a-x0 , y0);
关于直线 y=a 的对称点为 (x0 , 2a-y0) ;
关于直线 y=x 的对称点为 (y0 , x0 );
关于直线 y=-x 的对称点为 (-y0 , -x0 );

3.3 圆

@1 圆的方程

标准方程：(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 (r>0)，称为圆的标准方程，其圆心坐标为(a，b)，半径为r。当圆心在原点(0，0)，半径为r时，圆的方程为x^2 +y^2 = r^2。

一般方程：x^2 + y^2 +Dx+Ey+F = 0。

当D^2+E^2-4*F>0时，其圆心坐标为 (-D/2，-E/2)，半径为r =√( D^2+E^2-4F)/2
当D^2+E^2-4*F=0时，方程表示一个点 (-D/2 ，-E/2 )
当D^2+E^2-4*F<0时，方程不表示任何图形

@2 点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系

@@2.1 点P(x0,y0)与圆的位置关系：

对于圆的标准方程(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2，若d=√(a-x0)^2+(b-y0)^2，则有：

d>r <=> 点P在圆外；
d=r <=> 点P在圆上；
d<r <=> 点P在圆内；

对于圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0则有：

若x^2+y^2+Dx+Ey+F < 0，则点P在圆内；
若x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0，则点P在圆上；
若x^2+y^2+Dx+Ey+F > 0，则点P在圆外；

@@2.2直线与圆的位置关系有三种(本质是求点到直线的距离)：

直线Ax+By+C=0 与圆(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 的位置关系：圆心到直线的距离公式为( 点(x0，y0)为圆心)：

则有三种关系：

d>r <=> 相离；
d=r <=> 相切；
d<r <=> 相交；

@@2.3 圆与圆的位置关系有五种(本质是求两点之间距离)：

设两圆圆心分别为O1、O2；半径分别为r1，r2；| O1O2 | = d：

d>r1+r2：外离，有4条公切线；
d=r1+r2：外切，有3条公切线；
| r1-r2 |<d<| r1+r2 |：相交，有2条公切线；
d=| r1-r2 |，内切，由1条公切线；
0<d<| r1-r2 |：内含，无公切线；

分析两圆位置关系的解题步骤:

根据两圆方程确定两圆圆心，以及两圆半径。
根据两点间距离公式求出两圆圆心距，分析圆心距与两圆半径之间的大小关系。

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