MEM/MBA数学基础（08）数据分析

本系列文章主要讲解 MEM/MBA 数学基础，系列文章总纲链接为：MEM/MBA 数学总纲

本章节思维导图如下所示（思维导图会持续迭代）：

第一层：

第二层：

1 排列组合

1.1 加法原理和乘法原理：

加法(分类)原理：如果完成一件事有 n 类办法,只要选择其中任何一类办法中的任何一种方法,就可以完成这件事.若第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法中有 m2 种不同的方法，......，第n类办法中有m [n]种不同的办法，那么完成这件事共有N = m1+m2 +...+ m[n] 种不同的方法。
乘法(分步)原理：如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成.若完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2 种不同的方法，......，完成第n个步骤有m[n]种不同的方法，那么完成这件事共有N =m1 *m2 *...*m[n]种不同的方法。

两大原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关。如果完成一件事有n类办法，这n类办法之间彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可，即需要完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用乘法原理。

1.2 排列与排列数

@1 排列：从n个不同元素中，任意取出m (m<=n) 个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

@2 排列数：从 n 个不同元素中取出 m 个元素(m≤n)的所有排列的种数，称为从 n 个不同元素中取出m个不同元素的排列数，排列数的公式如下所示：

这里当m=n时, 排列数称为n的全排列，用n!（n的阶乘，即n!= n*(n-1*(n-2)...*2*1)）表示。一般情况下有：

这里我们规定：

1.3 组合与组合数

@1 组合：从 n 个不同元素中, 任意取出 m(m <= n) 个元素并为一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

@2 组合数：从 n 个不同元素中, 取出 m(m <= n) 个元素的所有组合的种数, 称为从 n 个不同元素中，取出m个不同元素的组合数，组合数的公式如下：

这里我们规定：

同时我们注意一个非常重要的关系：

1.4 排列与组合的联系和区别

排列和组合都是“从 n 个不同元素中，任取 m 个元素”。但排列的本质是要“按照一定的顺序排成一列”，组合却是“不计顺序并成一组”。从n个不同的元素中，取m个元素的排列可以分两个步骤完成：

从 n 个不同元素中任取 m 个元素的组合；
对这 m 个元素进行全排列，所以我们解排列组合应用题时可以“先组后排”；

1.5 排列与组合常见问题与解题技巧

@1 限制条件

一般分为下面几种类型：

要求某些元素“在哪里”或“不在哪里”的排列、组合问题。
要求某些元素“相邻”或“不相邻”的排列、组合问题。
要求某些位置有某元素“占据”或“不占据”的排列、组合问题。

常用的解题方法有：

优先法(特殊位置优先或特殊元素优先)：对元素或位置有特殊要求的排列组合问题，可以先从特殊元素或特殊位置着手，先解决特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置。
捆绑法：相邻问题，把相邻的 k 个元素看作一个元素与其它元素排列，然后再考虑 k 个元素排列。
插空法：不相邻(相间)问题，首先将不受限制条件的元素排列起来，然后再在每两个元素之间(含这些元素的两端)。插入不能排在一起的元素。
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数。

@2 均匀与不均匀分组问题(分组与分堆问题)

均匀分组与不均匀分组：如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组;否则，称为不均匀分组。
小组有名称或小组无名称：只是简单地分组即可，不考虑组别关系，则小组无名称(定义为“分堆问题”)；如果分为 A 组，B 组，C 组，或者种子队，非种子队等等，则小组有名称。重点:如果均匀分组，并且无名称，需要消序(消序即:要除以堆数的全排列。其余情况均不需要消序!

1.6 排列与组合特殊题型

2 概率初步

2.1 概率基本概念

@1 随机试验和事件

随机试验（满足下列三个条件的试验称为随机试验）：

试验可在相同条件下重复进行;
试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的;
每次试验哪个结果出现是未知的.随机试验以后简称为试验，并常记为 E.

随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件。例如：在掷骰子随机试验中，A 表示“掷出 2 点”; B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。

@2 事件间的关系与运算

事件的和（如上图左上）：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件，简称为和，记为A∪B或A+B。例如：甲乙两人向目标射击，令 A 表示事件“甲击中目标”，B表示事件“乙击中目标”，则 A∪B表示“目标被击中”的事件。
事件的积（如上图右上）：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A∩B或AB。例如：观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到2的倍数次呼唤}，B={接到3的倍数次呼唤}，则 A∩B={接到6 的倍数次呼唤}。
互不相容（如上图左下）：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=空集，则称 A 与 B 是互不相容的。例如：观察某路口在某时刻的红绿灯。若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则 A 与 B 便是互不相容的。
对立事件（如上图右下）：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为非A ，显然A∪ (非A) = 全集，A∩(非A) = 空集。

@3 事件的概率及其性质

定义：所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P(A) ，显然0 ≦ P(A) ≦ 1

概率的性质

性质1(加法公式)：对任意事件 A、B，有 P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB)。若A、B互斥，则 P(AUB)= P(A)+ P(B)。
性质2(对立事件公式)：对任意事件A，P( 非A) =1-P(A)。

2.2 古典概型

@1 基本事件：在一次随机试验中，如果一个事件满足下面两个特点：

任何两个基本事件是互斥的
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和

我们就把这类事件称为一个基本事件。

@2 古典概型

如果在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，我们就把具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。古典概型的概率计算公式为：

2.3 事件的独立性

@1 事件的独立性

独立事件：设 A,B 是两个事件，如果事件 A 的发生和事件 B 的发生互不影响，则称两个事件是相互独立的。对于相互独立的事件A和B，有P(AB) = P(A)P(B)

@2 事件独立的性质

如果事件A、B相互独立，则 A和非B、非A和B、非A和非B 每一对事件都相互独立。这一性质在计算“n个独立事件至少一个发生”的概率时，是非常有用的。

2.4 贝努利概型

n次独立重复试验：进行 n 次试验，如果每次实验的条件相同，且各试验相互独立，即每次试验的结果都不受其他多次试验结果发生与否的影响。

贝努利概型:在 n 次独立重复试验中，若每次试验的结果只有两种可能，事件A发生或不发生，且已知P(A)= p，这样的n次试验称作n重贝努利试验，而贝努利试验的有关概率计算称为贝努利概型。在贝努利概型中，若设 q=1-p ，则在n次试验中事件A恰好发生k(0 ≦ k ≦ n) 次的概率为：

3 数据描述

@1 算数平均数：有n个数x1,x2,...,x[n]，称 (x1+x2+...+x[n])/n 为这n个数的算术平均数(也称平均数)。

@2 众数：在n个数 x1 , x2 ,..., x[n] 中，出现次数最多的数称为众数。

@3 中位数：将 n 个数 x1 , x2 ,..., x[n] ，按从小到大的顺序依次排列，当n为奇数时，处在最中间的那个数 x[(n+1)/2] 是这组数据的中位数;当n为偶数时，处在最中间的两个数的平均数 (x[n/2] + x[(n+1)/2])/2 是这组数据的中位数。

@4 方差与标准差

定义：设 x 是 n 个数据 x1 , x2 ,..., x[n] 的算术平均数，则方差公式为：

我们把样本方差的算术平均值叫做这组数据的标准差(也称均方差)，记做 s ，标准差s的公式为：

它是用来衡量一组数据波动的大小。样本方差和标准差体现了总体的分散程度。

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