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本章节思维导图如下所示（思维导图会持续迭代）：

第一层：

第二层：

1 方程及其解法

基本概念

方程:含有未知数的等式叫做方程。
解方程:解出方程中未知数的过程叫做解方程。
方程的解:使方程成立的未知数的值，叫做方程的解。

1.1 一元一次方程

@1 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为一次的方程称为一元一次方程，其标准形式为：a*x+b=0 (a ≠ 0)

@2 形如 a*x=b 的方程的解法：

当 a≠0 时，原方程的解为 x= -b/a ;
当 a=0，b≠0 时, 不存在 x 值使等式成立，原方程无解;
当 a=0，b=0 时，即 0x=0, 则原方程的解为全体实数。

1.2 二元一次方程

@1 定义：形如一组方程 a1*x+b1*y = c1 ; a2*x+b2*y = c2 (其中a与b，a与b分别不同时为零)的方程组，称为二元一次方程组，是由两个二元一次方程组成的。这两个二元一次方程的公共解就是该二元一次方程组的解。

@2 二元一次方程组的解法：

加减消元法得：(a1*b2 - a2*b1) x = b2*c1 - b1*c2，求出 x = (b2*c1 - b1*c2)/(a1*b2 - a2*b1)

代入消元法得：由a1*x+b1*y = c1 得到 y = (c1-a1*x) / b1，代入x即可求出y。

1.3 一元二次方程

@1 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程，其标准形式为:ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)

@2 解法：

@@2.1 因式分解法：把方程化为形如a(x-x1)(x-x2)=0的形式，则解为x=x1 或x=x2。

@@2.2 公式法：将配方后的结果直接用做公式使用。由ax2+bx+c=0 (a≠0) 得求根公式：

这里注意：根的判别式如下：

同时方程的解满足韦达定理，如下所示：

韦达定理的一个应用如下：

2 不等式及其解法

2.1 不等式的基本性质

若a>b,c>0, 则 a*c>b*c；若a>b,d<0, 则 a*d<b*d;
传递性: a > b , b > c => a > c;
同向皆正相乘性: a > b > 0;c > d > 0 => a*c > b*d;
同向相加性:a>b,c>d,则有a*c>b*d;
皆正倒数性: a > b > 0 => 1/b > 1/a > 0;
皆正乘方性:a>b>0;a^n > b^n > 0;

2.2 一元一次不等式

@1 一元一次不等式的解法

@2 一元一次不等式组的解法：分别求出组成不等式组的每一个一元一次不等式的解集后，求这些解集的交集(可以运用数轴，直观地求出交集)。

2.3 一元二次不等式

@1 一元二次不等式的标准形式为（注意：一元二次不等式的标准形中，二次项的系数为正）：

@2 一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系

设方程ax^2+bx+c=0 (a>0) 有两个不等实根x1,x2,且x1<x2,则：

a*x^2+b*x+c>0的解集为x<x1或x>x2;
a*x^2 +b*x+c<0的解集为x1<x<x2。

注意：若不等式二项式系数 a<0, 可化为正值再求解集。若不等式带等号(即 ≧或≦ )，则只需在解集中增加两个根即可。

@3 一元二次不等式的图像解法

一元二次不等式和一元二次方程类似，开口向上的抛物线ax^2+bx+c(a>0)的不同位置求解。图解法如下：

@4 穿针引线法法则：

移项，使等式一侧为零。
因式分解，并使每个因式的最高此项均为正数。
令每个因式都为零，得到零点，并标注在数轴上。
如果有恒大于零的项，直接删掉。
穿线法:从右往左，从上往下，一定注意“奇穿偶(偶表示根的个数)不穿。

这里详细说下穿针引线法的原理，如下图所示：

简单理解：穿针引线法的根本不是什么特殊的方法，而是模拟一元N次方程的图像而已，只不过方法中忽略了y轴，只谈x轴，有了这个理解，你就知道为啥穿针引线法怎么回事以及为什么有那么多规则了。

3 集合与函数

3.1 集合

@1 集合的区间表示

@1 集合的包含关系(子集，真子集，相等，子集的个数)

说明：含有n个元素的有限集共有2^n 个子集，有2^n-1个非空集合，有2^n-2的非空真子集。

@3 集合的运算(交集，并集，补集)

3.2 一次函数

@1 一次函数和正比例函数的概念

一般地，形如 y=k*x+b(k，b 是常数，k≠0)的函数叫做一次函数;当 b=0 时， y=k*x叫做正比例函数。

@2 一次函数系数 k和b 的理解

直线 y=k*x+b 中 k 的符号表示直线的方向，b 是直线与y 轴交点的纵坐标，同时：

b>0 时，直线与 y 轴交于正半轴上;
b=0 时，直线过原点，直线解析式是正比例函数;
b<0 时，直线与 y 轴交于负半轴上。

@3 一次函数的性质（表）

@4 一次函数与方程(组)及不等式之间的关系

一次函数与一元一次方程：直线 y=kx+b(k≠0) 与 x 轴交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解。
一次函数与一元一次不等式：使一次函数 y=kx+b(k≠0) 的函数值 y 大于 0 的自变量的所有值，就是一元一次不等式 kx+b>0 的解集；同样，使一次函数 y=kx+b(k≠0) 的函数值 y 小于 0 的自变量的所有值，就是一元一次不等式 kx+b<0 的解集。

3.3 二次函数

@1 二次函数表达式（常见方式：一般、顶点、交点）

一般式:y = a*x^2 + b*x + c
顶点式:y = a*(x+b/(2*a))^2+ (4*a*c-b^2)/4*a
交点式:y = a*(x-x1)*(x-x2)

@2 二次函数的性质

系数a：决定开口方向，当 a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
对称轴：轴线方程为x = -b/(2*a)，a和b决定对称轴在y轴的左侧或右侧。当a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；当a、b 异号时，对称轴在 y 轴右侧；当 b = 0时，对称轴即 y 轴。
c表示抛物线在y轴的截距，c > 0时抛物线交于 y 轴正半轴；c < 0时抛物线交 y 轴负半轴；c = 0时，抛物线过原点。
判别式b^2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数。 b^2-4ac>0有两个交点，b^2-4ac=0有一个交点，b^2-4ac<0没有交点。
抛物线上的特殊点( -b/(2*a) , (4ac-b^2)/4a) ：表示抛物线的顶点，决定函数的最值。若a>0则函数有最小值 (4ac-b^2)/4a；若a<0则函数有最大值 (4ac-b^2)/4a。

3.4 指数函数

@1 定义：指数函数y=a^x(a>0,a≠1),定义域是R，过(0，1)点，当a>1时 y=a^x单调增，当0<a<1时 y=a^x单调减。

@2 图象与性质：

3.5 对数函数

@1 定义：y=log(a)x (a>0,a≠1)定义域为(0，+oo)过(1，0)点，当 a>1时y=log(a)x是增函数，当0<a<1时，y=log(a)x是减函数。

@2 图像与性质：

@3 对数运算律

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