MEM/MBA数学基础（02）实数运算和性质
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本章节思维导图如下所示（思维导图会持续迭代）：
第一层：
第二层：
1 实数的运算和性质
1.1 数的概念与性质
基本概念说明：
1.2 有理数与无理数的组合运算性质
- 有理数（+-*/）有理数，仍为有理数。（注意：此处要保证除法的分母有意义）
- 无理数（+-*/）无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数
- 有理数（+-）无理数 = 无理数，非零有理数（*/）无理数=无理数。
注意：
- 有理数 包括 整数、有限小数、无限循环小数。有限小数 和 无限循环小数 都是 可以化为分数的。
- 有理数一定可写成分数形式，无理数则不能，这是二者的本质区别。
- 关键推论：a、b是有理数，c是无理数， 如果 a+b*c=0，那么 a=b=0
1.3 整数部分与小数部分
概念：整数部分是指一个数减去一个整数后，所得的差大于等于零且小于 1，那么此减数是整数部分，差是小数部分。比如：
- 8.2的 整数部分是8，小数部分是0.2
- -8.2的 整数部分是-9，小数部分是0.8
1.4 整数的分类：奇偶数的的概念和运算性质
| 奇数±奇数=偶数 | 奇数*奇数=奇数 | 偶数±奇数=奇数 |
| 偶数±偶数=偶数 | 偶数*偶数=偶数 | 偶数±奇数=奇数 |
1.5 正整数的分类：质数和合数
正整数：包括1 、质数(也称素数，只有1和自身两个约数)、合数(有除1和自身以外的约数)
- 质数：只有 1 和它本身两个约数(因数)的正整数叫质数(或素数)。最小的质数为 2(唯一的偶质数，常见的30 以内的质数共 10 个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29)
- 合数：除了 1 和本身外还有其他约数(因数)的正整数，最小的合数是 4（注意:1 既不是质数也不是合数）
特别注意：最小的质数是2，最小的合数是4。
1.6 整除与带余除法(商数和余数的表示)
设整数n被整数m整除，即存在整数s ，使得 n=m*s ，称n能被m整除。留意以下一些规律：
- 能被 2 整除的数:个位为 0，2，4，6，8。
- 能被 3 整除的数:各位数字之和必能被 3 整除。
- 能被 4 整除的数:末两位(个位和十位在一起)数字必能被 4 整除。（补充说明：对于3位数及以上100能被4整除）
- 能被 5 整除的数:个位为0或5。
- 能被 6 整除的数:同时满足能被 2 和 3 整除的条件。
- 能被 7 整除的数:将整数c个位数字截去得到a，个位数为b，判断a-2*b的差是否是7的倍数，如果该数能被7整除，则c能被7整除（注意该规律可以持续递归，举例：判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，以此类推）。
- 能被 8 整除的数:末三位(个位、十位和百位)数字必能被 8 整除。
- 能被 9 整除的数:各位数字之和必能被 9 整除。
- 能被 10 整除的数:个位必为 0。
1.7 公约数、公倍数、互质
@1 基本概念
- 约数/因数：设a为一个正整数，m为a的一个约数是指:a能被正整数m除尽，比如：a=15, 则 a=3*5，所以 a 有约数1 3 5 15 共4个。
- 公约数/公因数：若正整数 m 同时是几个正整数 a1,a2...a[r]的约数，就称 m 是 a1,a2...a[r]的公约数，并把a1,a2...a[r]的公约数中的最大的称为最大公约数。比如：6和8能被2 整除，2是6和8 的公约数。公约数是有限的。
- 倍数：设a为一个正整数，m为a的一个倍数是指:m能被正整数a除尽，如m=15, 则 m=3*5，所以15是3的倍数也是5的倍数，3和5 的倍数有无数个。
- 公倍数：若正整数 n 同时是几个正整数 a1,a2...a[r]的倍数，就称 n 是 a1,a2...a[r]的公倍数，并把 a1,a2...a[r]的公倍数中最小的称为最小公倍数。比如：3和5 是15 30 45 60的 公倍数。公倍数是无限的。
- 互质：若正整数m与正整数n的公约数只有1，就称这两个正整数 m 与 n 互质，并称 n/m 为既约分数(最简分数)
@2 常用技巧
- 一般是使用 短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。
- 定理：最大公约数*最小公倍数 = 俩数乘积。
- 最小公倍数 包含最大公约数的所有零件。
2 实数的性质和运算
2.1 实数的基本性质
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 若 a,b 是任意两个实数，则在 a<b，a=b，a>b 中有且只有一个关系成立。
- 若a是任意实数，则a^2≧0。
2.2 实数的运算分类
实数的四则运算满足加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律。还可以定义实数的乘方和开方运算。幂的运算性质如下：
开方运算：在实数范围内，负实数无偶次方根;0 的偶次方根是 0;正实数的偶次方根有两个，且互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。如:当 a>0 时，a的平方根是√a，其中√a是正实数 a 的算术平方根。在运算有意义的前提下：
2.3 实数运算技巧总结
@1 分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式(一个二次根式的有理化因式不唯一)。如2的有理化因式为√2， √2+√3的有理化因式为 √2-√3，
分母有理化:去掉分母中的根号，将分子分母同时乘以分母的有理化因式。比如：
@2 裂项相消法
常用于当题干中出现多个分数求和的情况。
3 比、比例
3.1 比、比例的定义
@1 比：两个数相除称为这两个数的比，即 a:b=a/b。相除所得商叫做比值。记作a : b = a/b = k，在实际应用中常将比值用百分数表示，称为百分比，如：
@2 比例：相等的比称为比例，记作a:b=c:d或a/b=c/d。其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内项。当 a : b=b : c 时，称b为a和c的比例中项，显然当a,b,c均为正数时， b是a和c的 几何平均值。
3.2 比与比例的性质
3.3 比例的基本定理
特别注意：不要忘记等比定理使用条件
3.4 正比例与反比例
- 正比 若y=kx(k不为零)，则称y与x成正比，k称为比例系数。
- 反比 若y=k/x(k不为零)，则称y与x成反比，k称为比例系数。
4 绝对值及其性质
4.1 实数的绝对值的定义 和几何意义
4.2 绝对值的性质
4.3 绝对值不等式性质与运算法则
注意：要掌握等号成立条件的判断
4.4 绝对值最值问题
- 常规方法：分段讨论法去绝对值符号，根据图像判断最值。
- 终极方法：描点看边取拐点法（拐点即绝对值等于0时x的取值）。
- 最值说明：|x-a|-|x-b|的最大值是|a-b|，最小值是－|a-b|；|x-a|+|x-b|的最小值是|a-b|
5 平均值及运算
5.1 定义
注意：几何平均值只对正实数有定义，而算术平均值对任何实数都有定义。
5.2 定理及性质
@1 基本定理：当 x1 , x2 ,...，x[n]为n个正实数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
当且仅当x1 = x2 = ... = x[n]时，等号成立。
@2 常用的基本不等式：
- a^2+b^2 ≧2*a*b（a b 均为实数）
- (a+b)/2≧√(a*b)（a b 均为正实数）
- (a+b+c)/3 ≧ 3√(a*b*c)（a b c均为正实数，3√表示为3次方根）
- a/b+b/a ≧2（a b 均为实数 且 a*b>0）
- a+1/a≧2（a为实数 且 a>0）
- a+1/a≦2（a为实数 且a<0）
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