MEM/MBA数学基础（03）整式与分式运算

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本章节思维导图如下所示（思维导图会持续迭代）：

第一层：

第二层：

1 整式及其运算

1.1 整式定义

在有理式中没有除法运算或有除法运算但除式中不含字母的式子叫整式。整式包括单项式和多项式，其和、差、积仍为整式。

1.2 整式加减运算

几个整式相加减，有括号的先去括号，然后合并同类项。整式加法满足交换律、结合律和对乘法的分配律。

整式加减法的运算步骤：去括弧->合并同类项（注意：去括号时一定要注意符号的处理）

1.3 整式乘法运算

@1 整式乘法的运算：(a+n)*(b+m) = a*b+a*m+n*b+n*m

@2 整式乘法的基本公式：

补充公式：a^n-1 = (a-1)*(1+a+a^2+a^3+...+a^(n-1))

说明：上面所列公式从左推向右, 是乘法公式; 而从右推向左则是因式分解公式 ,因为它们都是恒等式, 对所含字母的任意实数值, 原式均成立。

1.4 整式除法运算

这里有：被除式 = 除式*商+余式

1.5 多项式的因式分解

把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫做多项式的因式分解。多项式因式分解的常用方法如下：

提取公因式法：公因式是指多项式中各项都含有的相同的因式，即各项中系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积。a*x+b*x+c*x = x*(a+b+c)
公式法（上面 1.3 中的乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。
分组分解法：该方法的三个原则是：分组后能产生公因式；分组后能运用公式法；分组后能应用十字相乘法。常用有“一三”分组或“二二”分组法。
十字相乘法：二次三项式的十字相乘法，比如：x^2 +p*x+q=(x+a)(x+b)，其中p=a+b,q=a*b。再比如：a*x^2+b*x+c=(a1*x+c1)(a2*x+c2)，其中 a=a1*a2，c=c1*c2。并且b = a1*c2 + a2*c1。
求根法：a0*x^n+a1*x^(n-1)+......+an = 0有n个根x1，x2...xn，则多项式a0*x^n+a1*x^(n-1)+...+an = a0*(x-x1)*(x-x2)...*(x-xn)。

2 分式及其运算

2.1 定义

若A,B表示两个整式，且B≠0，B中含有字母，则称B/A是分式。分子和分母没有正次数的公因式的分式，称为最简分式。

2.2 基本性质

分式的分子和分母同乘以(或除以)同一个不为零的式子，分式的值不变，即有：A/B = m*A/m*B（m≠0）

2.3 运算

@1 加减运算：同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减;不同分母的几个分式相加减，取这几个分式分母的公分母作分母，通分后化为同分母分式的加减运算。（说明：分式加法满足交换律、结合律和对乘法的分配律）

@2 乘除运算：几个分式相乘，分子乘分子，分母乘分母。分式的乘法运算满足交换律、结合律和对加减法的分配律。两个分式相除，将除式的分子分母颠倒变为乘法运算。

2.4 解分式方程

@1 分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程。

@2 分式方程的增根问题：

增根的产生原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合方程的根(增根)要舍掉。
验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3 常见题型总结

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