系统识别的一些限制

对系统识别就是要获得系统的脉冲响应$h[n]$，按照一般想法应该是输入一个单位脉冲$x[n] = \delta[n]$，输出端就能得到$y[n] = h[n]$，不过这通常只是测试阶段的做法。由于单位脉冲太过简单，如果是在一个存在测量误差的环境下，则可能会得到不太精确的$h[n]$，因此有必要用一个更加“有力（energetic）”的，一个能充分激发系统的信号作为输入。

有两种方式可以使得信号更energetic，一个是提升信号的幅度，但是一般的系统都会对输入幅度有所限制；一个是持续进行信号输入，一般都会采用这种方式。

获取脉冲响应可以通过

$\displaystyle{H(e^{j\Omega})=\frac{Y(e^{j\Omega})}{X(e^{j\Omega})}}$

然后对$H(e^{j\Omega})$执行IDTFT就能得到$h[n]$。不过由于$X(e^{j\Omega})$是作为分母，因此在任意频率上都必须遵守$X(e^{j\Omega})\neq 0$，这表明需要输入信号在任意频率都必须存在分量，这是比较难实现的。

使用WSS Process进行系统识别

面对这些限制，采用随机过程（随机信号）作为输入也许会更好。因为我们通常可以很简单地产生一个随机过程（如Bernoulli process），并且这些随机过程有比较典型的correlation，这些correlation进行傅里叶变换后也能得到较为简单的函数，便于进行计算。根据WSS Process在LTI系统中的性质，有

$\displaystyle{H(e^{j\Omega}) = \frac{S_{yx}(e^{j\Omega})}{S_{xx}(e^{j\Omega})}}$

如果我们无法得知系统的输入或者输出，只知道输入以及输出随机过程的autocorrelation，那么可以执行以下运算

$\displaystyle{ |H(e^{j\Omega})|^2 = \frac{S_{yy}(e^{j\Omega})}{S_{xx}(e^{j\Omega})} }$

使用Bernoulli process进行系统识别

Bernoulli process（伯努利过程）是一个有限长度/无限长度的序列，序列中各个随机变量$(X_1,X_2,X_3,\cdot\cdot\cdot)$之间相互独立，并且

• 每个随机变量都只有两个数值可选，此处选取（1以及-1）
• 各个随机变量的概率相同，即$P_1(x=1)=P_2(x=1)=P_3(x=1)=\cdot\cdot\cdot$，此处选取$P(x=1) = P(x=-1)=0.5$

根据上述条件，我们可以发现Bernoulli process是i.i.d.，它是WSS以及SSS的。i.i.d.的process有autocorrelation为$R_{xx}[m] = \delta[m]$，进行傅里叶变换可以得到该process的PSD为$S_{xx}(e^{j\Omega}) = 1$。

在我们已经得到$R_{xx}[m] = \delta[m]$的情况下，结合WSS process下面的这条性质，可以直接得到$h[m] = R_{yx}[m]$。

$R_{yx}[m] = h[m]*R_{xx}[m]$

使用Ergodicity来获得$R_{yx}[m]$以及$R_{xx}[m]$

为了获得$R_{yx}[m]$以及$R_{xx}[m]$，我们通常会假设（或证明）当前的信号是ergodic的。Ergodicity表明我们能通过time average得到ensemble average。这意味着我们可以通过时域的平均来得到该process的总体特性（如mean，autocorrelation等），即

mean：

$\displaystyle{ E\{x[n]\} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{k=-N}^{N}x[k]}$

auto-correlation：

$\displaystyle{ R_{xx}[m] = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x[n+m]x[n]}$

cross-correlation：

$\displaystyle{ R_{yx}[m] = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}y[n+m]x[n]}$

关于信号是ergodic的证明，比较繁琐，可以查看参考资料。

Reference：

Alan V. Oppenheim: Signals, Systems and Inference, Chapter 10:Power Spectral Density