【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第6章-鞅过程及其性质

2024-04-13 03:29:02

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第6章-鞅过程及其性质-《随机过程》方兆本

6.1 条件期望及其性质
- 定义6.1 条件期望
6.2 鞅过程
- 定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列
6.3 鞅和鞅差的性质
- 6.3.1 鞅的性质
- 6.3.2 鞅差的性质
6.4 下(上)鞅及其初等性质
6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程
6.6 停时

Martingale 鞅

6.1 条件期望及其性质

定义6.1 条件期望

给定随机向量 (Y1,⋯,YnY_1, \cdots, Y_nY1,⋯,Yn) = (y1,⋯,yny_1, \cdots, y_ny1,⋯,yn) 下随机变量 XXX 的条件期望为
E(X∣Y1,⋯,Yn)=∫sf(x∣y1,⋯,yn)(6.1)E(X| Y_1, \cdots, Y_n) = \int sf(x| y_1, \cdots, y_n) \tag{6.1}E(X∣Y1,⋯,Yn)=∫sf(x∣y1,⋯,yn)(6.1)

此值与 (y1,⋯,yny_1, \cdots, y_ny1,⋯,yn) 有关，由于 (Y1,⋯,YnY_1, \cdots, Y_nY1,⋯,Yn) 是随机向量，所以如果没有指定它们的取值，（6.1）式是随机向量 (Y1,⋯,YnY_1, \cdots, Y_nY1,⋯,Yn) 的函数，常记为
E(X∣Y1,⋯,Yn)=g(Y1,⋯,Yn)(6.2)E(X|Y_1, \cdots, Y_n) = g(Y_1, \cdots, Y_n) \tag{6.2}E(X∣Y1,⋯,Yn)=g(Y1,⋯,Yn)(6.2)

6.2 鞅过程

定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列

若随机过程 {Mn,n=0,1,⋯}\{ M_n, n=0,1,\cdots \}{Mn,n=0,1,⋯} 满足如下两个条件：
（i）E∣Mn∣<∞E|M_n| < \inftyE∣Mn∣<∞；
（ii）E(Mn+1∣M0,M1,⋯,Mn)=Mn−1E(M_{n+1} | M_0, M_1, \cdots, M_n) = M_{n-1}E(Mn+1∣M0,M1,⋯,Mn)=Mn−1；
则称 MnM_nMn 为鞅序列，简称为鞅（鞅列），称 {Zn=Mn−Mn−1,n=1,⋯}\{Z_n = M_n - M_{n-1}, n=1,\cdots \}{Zn=Mn−Mn−1,n=1,⋯} 为鞅差（鞅差序列）。

6.3 鞅和鞅差的性质

6.3.1 鞅的性质

6.3.2 鞅差的性质

6.4 下(上)鞅及其初等性质

6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程

6.6 停时

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