1.1 鞅、停时和域流-随机过程的可测性（布朗运动与随机计算【习题解答】）

1.5 Problem. Let Y be a modification of X, and suppose that both processes have a.s. right-continuous sample paths. Then X and Y are indistinguishable.

问题1.5 设Y是对X的一个修正，并假设这两个过程都有几乎处处右连续的样本路径。那么X和Y无区别。

证明：因为对任意t≥0t\geq 0t≥0,有P(Xt=Yt)=1P(X_t=Y_t)=1P(Xt=Yt)=1,选择Q={ri:i≥1}Q=\{r_i:i \geq 1\}Q={ri:i≥1}。则
P(⋃ri(Xri≠Yri))≤∑riP(Xri≠Yri)=∑ri(1−P(Xri=Yri))=0P\left(\bigcup_{r_{i}}\left(X_{r_{i}}\neq Y_{r_{i}}\right)\right)\leq\sum_{r_{i}}P\left(X_{r_{i}}\neq Y_{r_{i}}\right)=\sum_{r_{i}}\left(1-P\left(X_{r_{i}}=Y_{r_{i}}\right)\right)=0P(ri⋃(Xri=Yri))≤ri∑P(Xri=Yri)=ri∑(1−P(Xri=Yri))=0
即P(⋂ri(Xri=Yri))=1P\left(\bigcap_{r_{i}}\left(X_{r_{i}}=Y_{r_{i}}\right)\right)=1P(⋂ri(Xri=Yri))=1。因为两个过程有几乎处处右连续的样本路径，则对于任意序列{ri,t⊂Q}\{r_{i,t}\subset Q\}{ri,t⊂Q},当ri,t↓tr_{i,t}\downarrow tri,t↓t，有
*⁡limiXri,t=Xt,limYri,t=Yt,a.s.∀ω∈Ω\operatorname*{lim}_{i}X_{r_{i,t}}=X_{t},\mathrm{lim}\,Y_{r_{i,t}}=Y_{t},a.s.\forall\omega\in\Omega*limiXri,t=Xt,limYri,t=Yt,a.s.∀ω∈Ω
可得
1≥P(Xt=Yt,∀t≥0)=P(⋂t(Xt=Yt))=P(⋂t(*⁡limiXri,t=*⁡limiYri,t))=11\geq P (X_{t}=Y_{t},\forall t\geq0)=P(\bigcap_{t}(X_{t}=Y_{t}))=P(\bigcap_{t}(\operatorname*{lim}_{i}X_{r_{i,t}}=\operatorname*{lim}_{i}Y_{r_{i,t}}))=11≥P(Xt=Yt,∀t≥0)=P(t⋂(Xt=Yt))=P(t⋂(*limiXri,t=*limiYri,t))=1

1.7 Exercise. Let XXX be a process, every sample path of which is RCLL (i.e.,right-continuous on [0,∞)[0, \infty)[0,∞) with finite left-hand limits on (0,∞)(0, \infty)(0,∞)). Let AAA be the event that XXX is continuous on [0,t0)[0,t_0)[0,t0). Show that A∈Ft0XA\in \mathscr{F}_{t_0}^XA∈Ft0X.

练习1.7：令XXX是某个样本路径都是右连左极的随机过程，AAA是使得XXX在[0,t0)[0,t_0)[0,t0)连续的事件（集合），则A∈Ft0XA\in \mathscr{F}_{t_0}^XA∈Ft0X。

证明：首先证明在题设要求下，有以下结论成立

∃n\exists n∃n，使得∀m\forall m∀m,$\exists q_1,q_2\in Q\bigcap[0,t_0)$,0<∣q1−q2∣<1m0<|q_1-q_2|<\frac{1}{m}0<∣q1−q2∣<m1,有∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>1n|X_{q_{1}}\left(\omega_{0}\right)-X_{q_{2}}\left(\omega_{0}\right)|>\frac{1}{n}∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>n1
等价于Xt(ω0)X_t (\omega_0)Xt(ω0)在某点s∈[0,t0)s\in [0,t_0)s∈[0,t0)不连续。

选择给定的ω0∈Ω\omega_0\in \Omegaω0∈Ω,假设Xt(ω0)X_t (\omega_0)Xt(ω0)在某点s∈[0,t0)s\in [0,t_0)s∈[0,t0)不连续，则
*⁡limtj↑sXtn(ω0)≠Xs(ω0)\operatorname*{lim}_{t_{j}\uparrow s}X_{t_{n}}\left(\omega_{0}\right)\neq\,X_{s}\left(\omega_{0}\right)*limtj↑sXtn(ω0)=Xs(ω0)

‘←\leftarrow←’：对某序列{tj:j≥1}⊂Q∗=Q∩[0,t0)\{ t_ {j} :j\geq 1\} \subset Q^ {*}=Q \cap [0, t_ {0}){tj:j≥1}⊂Q∗=Q∩[0,t0)，这意味着$ \exists n,使得对, 使得对,使得对 \forall m$, $ \exists t’$,$0<s-t’< \frac {1}{3m} $ ,而
∣Xt′(ω0)−Xs(ω0)∣>1n|X_ {t} '( \omega _ {0})- X_ {s}( \omega _ {0})|>\frac {1}{n} ∣Xt′(ω0)−Xs(ω0)∣>n1
因为样本路径是右连左极的,存在$ q_ {1} , q_ {2}\in Q^ {*} $使得$0< q_ {1}-s, q_ {2} -t’< \frac {1}{3m} $ 使得

∣Xq1(ω0)−Xs(ω0)∣<14n,∣Xq2(ω0)−Xt(ω0)∣<14n|X_ {q_ {1}}( \omega _ {0} )-X_ {s} ( \omega _ {0} )|< \frac {1}{4n},|X_ {q_ {2}}( \omega _ {0} )- X_ {t} ( \omega _ {0} )|<\frac {1}{4n} ∣Xq1(ω0)−Xs(ω0)∣<4n1,∣Xq2(ω0)−Xt(ω0)∣<4n1
因此 ∣q1−q2∣<1m|q_ {1} - q _ {2} |< \frac {1}{m}∣q1−q2∣<m1，并且

∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>∣Xt′(ω0)−Xs(ω0)∣−∣Xq1(ω0)−Xs(ω0)∣−∣Xq2(ω0)−Xt′(ω0)∣<1n−12n=12n|X_ {q_ {1}}( \omega _ {0} )-X_ {q_ {2}}( \omega _ {0})|>|X_ {t'} (\omega _ {0} )- X_ {s}( \omega _ {0} )|- |X_ {q_ {1}} ( \omega _ {0} )- X_ {s} ( \omega _ {0} )|-|X_ {q_ {2}} ( \omega _ {0})- X_ {t'}(\omega _ {0} )|< \frac {1}{n}- \frac {1}{2n} = \frac {1}{2n} ∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>∣Xt′(ω0)−Xs(ω0)∣−∣Xq1(ω0)−Xs(ω0)∣−∣Xq2(ω0)−Xt′(ω0)∣<n1−2n1=2n1
‘→\rightarrow→’：如果∃n\exists n∃n,使得∀m\forall m∀m, 有
∃q1,q2∈Q∗\exists q_{1},q_{2}\in Q^{*}∃q1,q2∈Q∗, 0<∣q1−q2∣<1m0< |q_ {1} - q_ {2} |< \frac{1}{m}0<∣q1−q2∣<m1，而且

∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>1n|X_ {q_ {1}}( \omega _ {0} )- X_ {q_ {2}}( \omega _ {0} )|> \frac {1}{n} ∣Xq1(ω0)−Xq2(ω0)∣>n1

则可以对mmm取12m\frac {1}{2^ {m}}2m1,选择qm,1,qm,2∈Qt0q_ {m,1}, q_ {m,2}\in Q_ {t_ {0}}qm,1,qm,2∈Qt0满足∣qm,1−qm,2∣<12m|q_ {m,1}- q_ {m,2}|<\frac {1}{2^ {m}}∣qm,1−qm,2∣<2m1,而
∣Xqm,1(ω0)−Xqm,1(ω0)∣>1n|X_ {q_m,1} (\omega _ {0})- X_ {q_m},1( \omega _ {0} )|>\frac {1}{n} ∣Xqm,1(ω0)−Xqm,1(ω0)∣>n1
令p=lim⁡infm{qm,1,qm,2}p = \lim inf_ {m} \{ q_ {m,1} ,q_ {m,2}\}p=liminfm{qm,1,qm,2}.则p∈(0,t0)p \in (0, t_ {0} )p∈(0,t0) 并且Xt(ω0)X_ {t} ( \omega _ {0} )Xt(ω0)在ppp处是不连续的。

最后，令
An,m=∪(r,s)∈Q×Q,∣r−s∣<1m{ω∈Ω:∣Xr(ω)−Xs(ω)∣>1n}A_ {n,m} =\cup_{(r,s) \in Q\times Q ,|r-s|< \frac {1}{m}} \{ \omega\in \Omega: |X_ {r} ( \omega )- X_ {s}( \omega )|> \frac {1}{n} \} An,m=∪(r,s)∈Q×Q,∣r−s∣<m1{ω∈Ω:∣Xr(ω)−Xs(ω)∣>n1}
显然
A=(∪n∩mAn,m)CA= (\cup _ {n}\cap _ {m}A_ {n,m})^ {C} A=(∪n∩mAn,m)C
即A=lim⁡‾nAn,mCA= \overline{\lim}_ {n}A^C_ {n,m}A=limnAn,mC,因为An,m∈Ft0A_ {n,m} \in F_ {t_ {0}}An,m∈Ft0 并且Q∗×Q∗Q^ {*} \times Q^ {*}Q∗×Q∗ 可数, 可得An,mC∈Ft0XA_ {n,m}^ {C}\in \mathscr{F}_ {t_ {0}}^ {X}An,mC∈Ft0X 并且A∈Ft0XA \in \mathscr{F}_ {t_ {0}}^ {X}A∈Ft0X

1.10 Exercise. Let XXX be a process with sample paths are LCRL, and let AAA be the event that X is continuous [0;t0][0; t_0][0;t0] : Let XXX be adapted to a right-continuous Fáitration {Ft}\{\mathscr{F_t}\}{Ft}, Show that A∈Ft0XA\in \mathscr{F}_{t_0}^XA∈Ft0X。

练习1.10：令XXX是某个样本路径都是左连右极的随机过程，AAA是使得XXX在[0,t0)[0,t_0)[0,t0)连续的事件（集合），XXX适应于右连续的域流{Ft}\{\mathscr{F_t}\}{Ft}，则A∈Ft0XA\in \mathscr{F}_{t_0}^XA∈Ft0X。

证明：XXX是某个样本路径都是左连右极的随机过程，令
Bn,m(r)=⋃mr>1⋂kr>mr{ω∈Ω:∣Xr(ω)−Xr+1kr(ω)∣≤1n}B_{n,m}\left(r\right)=\bigcup_{m_{r}>1}\bigcap_{k_{r}>m_{r}}\left\{\omega\in\Omega:\left|X_{r}\left(\omega\right)-X_{r+{\frac{1}{k_{r}}}}\left(\omega\right)\right|\leq{\frac{1}{n}}\right\} Bn,m(r)=mr>1⋃kr>mr⋂{ω∈Ω:∣∣∣Xr(ω)−Xr+kr1(ω)∣∣∣≤n1}
显然
A=⋃r∈Q∗⋂n≥1Bn,m(r)A=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}^{*}}\bigcap_{n\geq1}B_{n,m}\left(r\right) A=r∈Q∗⋃n≥1⋂Bn,m(r)
因为XXX适应于右连续的域流{Ft}\{\mathscr{F_t}\}{Ft}，则
{ω∈Ω:Xt(ω)<λ}={ω∈Ω:*⁡limXt+kˉ(ω)=Xt(ω)<λ}=∪mt≥1∩kt≥mt{ω∈Ω:Xt+1k(ω)<λ}∈∩k≥mt′Ft+1k=Ft\{\omega\in\Omega:X_{t}(\omega)<\lambda\}=\{\omega\in\Omega:\operatorname*{lim}X_{t+\bar{k}}(\omega)=X_{t}(\omega)<\lambda\}=\cup _ {m_t\geq 1}\cap _ {k_t\geq m_t}\{\omega\in\Omega:X_{t+\frac{1}{k}}(\omega)<\lambda\}\in \cap_{k\geq m'_{t}}\mathscr{F}_{t+\frac{1}{k}}=\mathscr{F}_{t} {ω∈Ω:Xt(ω)<λ}={ω∈Ω:*limXt+kˉ(ω)=Xt(ω)<λ}=∪mt≥1∩kt≥mt{ω∈Ω:Xt+k1(ω)<λ}∈∩k≥mt′Ft+k1=Ft
因此A∈F⊂Ft0XA\in\mathscr{F}\subset \mathscr{F}_{t_0}^XA∈F⊂Ft0X

1.16 Problem If XXX is measurable and the r.t. TTT is finite, then the function XTX_TXT is a random variable.

问题1.16 如果XXX可测，随机时间TTT有界，则XTX_TXT是随机变量。

证明：定义τ:Ω→R×Ω\tau:\Omega\rightarrow \mathbb{R}\times \Omegaτ:Ω→R×Ω为
ω↦(T(ω),ω)\omega\mapsto\ (T(\omega),\omega) ω↦ (T(ω),ω)
可以证明$ \tau 是可测的。取是可测的。取是可测的。取A \in B (R \times \Omega )$,则
{ω∈Ω:(T(ω),ω)∈A}=T−1(Aω)∈F\{ \omega \in \Omega :(T( \omega ),\omega ) \in A\} = T^ {-1} ( A_ {\omega } ) \in \mathscr{F} {ω∈Ω:(T(ω),ω)∈A}=T−1(Aω)∈F
其中 Aω={x∈R:(x,ω)∈A}A_ {\omega } = \{x \in R:(x, \omega ) \in A\}Aω={x∈R:(x,ω)∈A},即AωA_ {\omega }Aω是AAA关于xxx的截口。

由于TTT有限并且$ X_ {T} ( \omega )=X(\tau)，且对任意，且对任意，且对任意t \in [0,\infty)有有有 X_ {t}\in \mathscr{F}$,则
XT(ω)(ω)∈FX_ {T(\omega )} ( \omega ) \in \mathscr{F} XT(ω)(ω)∈F

1.17 ProblemLet X be measurable and T a r.t… Show that
FT={{ω:XT∈A},{ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}:A∈B(R)}\mathscr{F}_ {T} =\{\{ \omega : X_ {T}\in A\},\{ \omega : X_ {T} \in A\} \cup \{\omega :T=\infty \} :A \in \mathscr{B}(R)\}FT={{ω:XT∈A},{ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}:A∈B(R)}
is a sub-σ\sigmaσ-field of F\mathscr{F}F;which is denoted by σ(XT)\sigma(X_T)σ(XT)

问题1.17 如果XXX可测，随机时间TTT有界，则FT={{ω:XT∈A},{ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}:A∈B(R)}\mathscr{F}_ {T} =\{\{ \omega : X_ {T}\in A\},\{ \omega : X_ {T} \in A\} \cup \{\omega :T=\infty \} :A \in \mathscr{B}(R)\}FT={{ω:XT∈A},{ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}:A∈B(R)}
是F\mathscr{F}F的子σ\sigmaσ代数。

证明. (a) $ \Omega \in F_ {T} $

(b) 令B∈FB \in FB∈F，对某A∈B(R)A \in B(R)A∈B(R)，有
B={ω:XT∈A}B=\{ \omega : X_ {T} \in A\}B={ω:XT∈A}
或B={ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}B=\{\omega : X_ {T} \in A\}\cup \{\omega :T=\infty \}B={ω:XT∈A}∪{ω:T=∞}
则
BC={ω:XT∈AC}B^ {C} =\{ \omega: X_ {T} \in A^ {C} \}BC={ω:XT∈AC}或BC={ω:XT∈AC}∩{ω:T<∞}B^ {C} =\{ \omega : X_ {T}\in A^ {C} \}\cap \{\omega:T<\infty\}BC={ω:XT∈AC}∩{ω:T<∞},有BC∈FTB^ {C} \in \mathscr{F}_ {T}BC∈FT
$A_ {j} ,A_ {k}\in \mathscr{B}® $，有
B=∪({ω:XT∈Ak}∪{ω:T=∞})∪{ω:XT∈Aj}=(ω:xT∈UkAk}∪{ω:T=∞})∪ω:xT∈∪jAjB= \cup (\{ \omega : X_ {T} \in A_ {k} \} \cup \{\omega :T=\infty \}) \cup \{\omega :X_ {T}\in A_ {j}\}=( \omega : x_ {T} \in U_ {k} A_ {k}\} \cup \{\omega :T=\infty \} )\cup {\omega :x_ {T}\in \cup_j A_ {j}} B=∪({ω:XT∈Ak}∪{ω:T=∞})∪{ω:XT∈Aj}=(ω:xT∈UkAk}∪{ω:T=∞})∪ω:xT∈∪jAj
由于
∪kAk,∪jAj∈B(R)\cup _ {k} A_ {k} , \cup _ {j}A_ {j} \in \mathscr{B}(R)∪kAk,∪jAj∈B(R),则
B∈FTB \in \mathscr{F}_ {T} B∈FT
因此FT=σ(XT)\mathscr{F}_T= \sigma ( X_ {T})FT=σ(XT)是F\mathscr{F}F的子σ\sigmaσ代数.

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