【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第4章-平稳过程

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第4章-平稳过程-《随机过程》方兆本

4.1 定义和例子
- 定义4.1 严平稳过程
- 定义4.2 宽平稳随机过程
- 定义4.3 高斯过程
- 定义4.4 周期平稳过程
4.2 遍历性定理
- 定义4.5 均值 / 协方差函数有遍历性
- 定理4.1 均值遍历性定理
- 定理4.2 协方差函数遍历性定理
- 定理4.3
4.3 平稳过程的协方差函数和功率谱密度
- 4.3.1 协方差函数
- 4.3.2 几个常见随机信号的协方差函数
- 4.3.3 功率谱密度
4.4 平稳序列的预报
- 4.4.1 一般预报理论
- 4.4.2 平稳序列的预报

4.1 定义和例子

定义4.1 严平稳过程

设 X={X(t),t∈T}X=\{ X(t),t\in T \}X={X(t),t∈T} 为一随机过程，若对任意正整数 kkk 及 TTT 中任意 kkk 个时刻 t1<t2<⋯<tkt_1<t_2<\cdots<t_kt1<t2<⋯<tk，及 TTT 中的 hhh，有
{X(t1),⋯,X(tk)}=dX(t1+h),⋯,X(tk+h)\{X(t_1), \cdots, X(t_k)\} \overset{d}{=} {X(t_1+h), \cdots, X(t_k+h)}{X(t1),⋯,X(tk)}=dX(t1+h),⋯,X(tk+h)

则随机过程 XXX 称为严平稳过程。这里 “d”“d”“d” 表示等式两边 kkk 维随机向量的分布相同。

定义4.2 宽平稳随机过程

设 X={X(t),t∈T}X=\{ X(t),t\in T \}X={X(t),t∈T} 为一实值随机过程，如果对 ∀t∈T,EX2(t)<∞,EX(t)=m\forall t\in T, EX^2(t)<\infty, EX(t)=m∀t∈T,EX2(t)<∞,EX(t)=m 以及协方差函数 E(X(t)−m)(X(s)−m)E(X(t)-m)(X(s)-m)E(X(t)−m)(X(s)−m) 仅与 t−st-st−s 有关，则称 XXX 为宽平稳随机过程。

定义4.3 高斯过程

设 G={G(t),−∞<t<+∞}G=\{ G(t), -\infty<t<+\infty \}G={G(t),−∞<t<+∞} 为一随机过程，如果对任一正整数 kkk 以及 kkk 个时刻 t1≤t2≤⋯≤tkt_1\le t_2\le \cdots \le t_kt1≤t2≤⋯≤tk，(G(t1),G(t2),⋯,G(tk))(G(t_1),G(t_2),\cdots,G(t_k))(G(t1),G(t2),⋯,G(tk)) 的联合分布为 kkk 维正态分布，则称 GGG 为高斯 (Gauss) 过程。

定义4.4 周期平稳过程

设 X={X(t),t∈T}X=\{X(t), t\in T \}X={X(t),t∈T} 为平稳过程，如果存在正常数 κ\kappaκ 使得
X(t+κ)=X(t)X(t+\kappa) = X(t)X(t+κ)=X(t)

则称 XXX 为周期平稳过程，κ\kappaκ 为过程的周期。

如果 XXX 是周期平稳过程，则其协方差函数也是周期函数，且与过程有相同的周期。这是由于
R(τ+κ)=E(X(t+τ+κ)−m)(X(t)−m)=E(X(t+τ)−m)(X(t)−m)=R(τ)R(\tau+\kappa) = E(X(t+\tau+\kappa) -m) (X(t)-m) \\ =E(X(t+\tau)-m) (X(t)-m) \\ =R(\tau)R(τ+κ)=E(X(t+τ+κ)−m)(X(t)−m)=E(X(t+τ)−m)(X(t)−m)=R(τ)

4.2 遍历性定理

定义4.5 均值 / 协方差函数有遍历性

定理4.1 均值遍历性定理

定理4.2 协方差函数遍历性定理

定理4.3

4.3 平稳过程的协方差函数和功率谱密度

4.3.1 协方差函数

4.3.2 几个常见随机信号的协方差函数

4.3.3 功率谱密度

4.4 平稳序列的预报

4.4.1 一般预报理论

4.4.2 平稳序列的预报