一、使用匈牙利法求解下面的指派问题

四人分别完成四项工作所用时间 :

	AAA	BBB	CCC	DDD
甲	222	151515	131313	444
乙	101010	444	141414	151515
丙	999	141414	161616	131313
丁	777	888	111111	999

二、第一步 : 变换系数矩阵 ( 每行每列都出现 0 元素 )

先写出指派问题的系数矩阵 :

(cij)=[2151341041415914161378119](c_{ij}) =\begin{bmatrix} & 2 & 15 & 13 & 4 & \\\\ & 10 & 4 & 14 & 15 & \\\\ & 9 & 14 & 16 & 13 & \\\\ & 7 & 8 & 11 & 9 & \\ \end{bmatrix}(cij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡2109715414813141611415139⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

使每行都出现 000 元素 : (cij)(c_{ij})(cij) 系数矩阵中 , 每行都减去该行最小元素 ;

第 111 行减去最小值 222 ;
第 222 行减去最小值 444 ;
第 333 行减去最小值 999 ;
第 444 行减去最小值 777 ;

(cij′)=[01311260101105740142](c_{ij}') =\begin{bmatrix} & 0 & 13 & 11 & 2 & \\\\ & 6 & 0 & 10 & 11 & \\\\ & 0 & 5 & 7 & 4 & \\\\ & 0 & 1 & 4 & 2 & \\ \end{bmatrix}(cij′)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡06001305111107421142⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

此时发现有两列 , 第 444 列 , 第 555 列 , 没有 000 元素 , 这两列每列都减去最小值 :

第 333 列减去最小值 444 ;
第 444 列减去最小值 222 ;

最终得到行列都有 000 元素的系数矩阵 (bij)(b_{ij})(bij) :

(bij)=[01370606905320100](b_{ij}) =\begin{bmatrix} & 0 & 13 & 7 & 0 & \\\\ & 6 & 0 & 6 & 9 & \\\\ & 0 & 5 & 3 & 2 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 0 & \\ \end{bmatrix}(bij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡06001305176300920⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

三、第二步 : 试指派 ( 找独立 0 元素 )

基于上一步的行列都有 000 元素的系数矩阵 ,

进行试指派 ;

找出每行的独立 000 元素 ,

优先从唯一选择开始 ,

第 222 行只有 111 个 000 元素 , 该元素是独立 000 元素 ;

第 333 行只有 111 个 000 元素 , 该元素是独立 000 元素 ( 红色矩形框 ) , 位于第 111 列 ; 同时第 111 列中的其它 000 元素标记为废弃 000 元素 ( 绿色矩形框 );

第 111 行和第 444 行都有多个 000 元素 ;

然后从列里面找独立 000 元素 , 第 111 列和第 222 列都已经找到了 000 元素 , 这里看第 333 列和第 444 列 ;

第 333 列有独立 000 元素 ( 红色矩形框 ) ; 位于第 444 行 , 将第 444 行的其它 000 元素标记为废弃 000 元素 ( 绿色矩形框 ) ;

第 444 列有独立 000 元素 ( 红色矩形框 ) ; 位于第 111 行 , 将第 111 行的其它 000 元素标记为废弃 000 元素 ( 绿色矩形框 ) , 已经标记过了 , 不用再进行标记 ;

这里第一次指派就找到了最优解 ;

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