本文介绍求解指派问题的匈牙利法，并证明该算法的最优性。

算法流程

算法步骤：

对成本表中每一行的数值，减去该行的最小值
对成本表中每一列的数值，减去该列的最小值
在 000 元素中找到可行解

例 1：

某指派问题的成本表如下：

	任务 1	任务 2	任务 3
人员 1	15	10	9
人员 2	9	15	10
人员 3	10	12	8

步骤 1：

	任务 1	任务 2	任务 3
人员 1	6	1	0
人员 2	0	6	1
人员 3	2	4	0

步骤 2：

	任务 1	任务 2	任务 3
人员 1	6	0	0
人员 2	0	5	1
人员 3	2	3	0

步骤 3：步骤 2 的表格中，加粗的 000 元素即为最优解。

在步骤 3 中，若在 000 元素中找不到可行解，则作如下操作：

画出可以覆盖所有 000 元素的最小行列
对于未画到的元素所构成的子矩阵，所有元素减去该子矩阵中的最小值，然后在被画到的区域的交叉点加上该最小值
回到步骤 3 寻找可行解，如果仍然无法找到，重复前述步骤

例 2：

某指派问题的成本表如下：

	任务 1	任务 2	任务 3	任务 4
人员 1	1	4	6	3
人员 2	9	7	10	9
人员 3	4	5	11	7
人员 4	8	7	8	5

步骤 1, 2：

	任务 1	任务 2	任务 3	任务 4
人员 1	0	3	2	2
人员 2	2	0	0	2
人员 3	0	1	4	3
人员 4	3	2	0	0

可行性处理：

	任务 1	任务 2	任务 3	任务 4
人员 1	0	2	1	1
人员 2	3	0	0	2
人员 3	0	0	3	2
人员 4	4	2	0	0

求解结果：

	任务 1	任务 2	任务 3	任务 4
人员 1	0	2	1	1
人员 2	3	0	0	2
人员 3	0	0	3	2
人员 4	4	2	0	0

最优性证明

指派问题的数学模型如下：

决策变量：


xi,jx_{i, j}xi,j	0-1	人员 iii 安排到任务 jjj

约束条件：


每个人刚好分配一项任务	∑j=1nxi,j=1i=1,2,...,n\sum^{n}_{j=1} x_{i, j} = 1 \quad i = 1, 2, ..., n∑j=1nxi,j=1i=1,2,...,n
每项任务刚好分配给一个人	∑i=1nxi,j=1j=1,2,...,n\sum^{n}_{i=1} x_{i, j} = 1 \quad j = 1, 2, ..., n∑i=1nxi,j=1j=1,2,...,n

目标函数：
min⁡z=∑i=1n∑j=1nci,j⋅xi,j\min \ z = \sum^{n}_{i=1} \sum^{n}_{j=1} c_{i, j} \cdot x_{i, j} min z=i=1∑nj=1∑nci,j⋅xi,j

根据该问题的约束条件的特征，对于成本矩阵中任何一行或列同时加减一个常数，不影响最优解的取值，即：
∑i∑jci,j′⋅xi,j=∑i∑j(ci,j−pi−qj)⋅xi,j=∑i∑jci,j⋅xi,j−∑ipi⋅(∑jxi,j)−∑jqj⋅(∑ixi,j)=∑i∑jci,j⋅xi,j−∑ipi−∑jqj=∑i∑jci,j⋅xi,j−C\begin {aligned} \sum_{i} \sum_{j} c^{\prime}_{i, j} \cdot x_{i, j} &= \sum_{i} \sum_{j} (c_{i, j} - p_{i} - q_{j}) \cdot x_{i, j} \\ &= \sum_{i} \sum_{j} c_{i, j} \cdot x_{i, j} - \sum_{i} p_{i} \cdot (\sum_{j} x_{i, j}) - \sum_{j} q_{j} \cdot (\sum_{i} x_{i, j}) \\ &= \sum_{i} \sum_{j} c_{i, j} \cdot x_{i, j} - \sum_{i} p_{i} - \sum_{j} q_{j} \\ &= \sum_{i} \sum_{j} c_{i, j} \cdot x_{i, j} - C \end {aligned} i∑j∑ci,j′⋅xi,j=i∑j∑(ci,j−pi−qj)⋅xi,j=i∑j∑ci,j⋅xi,j−i∑pi⋅(j∑xi,j)−j∑qj⋅(i∑xi,j)=i∑j∑ci,j⋅xi,j−i∑pi−j∑qj=i∑j∑ci,j⋅xi,j−C

对于前述的特殊情况，即步骤 3 中无法找到可行解时的操作（例 2），对未画到的子矩阵减去最小值时，相当于对其所在行或列的已画线的单元格也减去了该数值，而为了保持已画线的单元格数值不变，相当于把该数值再加回来，故直接在交叉点加上该数值即可。

综上所述，匈牙利法所得解为最优解。

参考文献

Hamdy A. Taha. Operations Research an Introduction 初级篇 Chapter 5

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