一、整数规划示例

资金总额 B\rm BB , 有 nnn 个投资项目 , 项目 jjj 所需的投资金额是 aja_jaj , 预期收益是 cjc_jcj , j=1,2,⋯,nj = 1,2,\cdots,nj=1,2,⋯,n ;

投资还有以下附加条件 :

① 如果投资项目 111 , 必须投资项目 222 ; 反之如果投资项目 222 , 没有限制 ;

② 项目 333 和项目 444 必须至少选 111 个 ;

③ 项目 5,6,75,6,75,6,7 只能选择 222 个 ;

决策变量分析 : 选择合适的决策变量与决策变量取值 ;

选取变量 , 使得变量的一组取值 , 能更好对应线性规划问题的解决方案 ;

每个项目有对应的两个选择 , 投资 / 不投资 , 分别使用 111 和 000 表示 ;

令 xjx_jxj 表示第 jjj 个项目的投资选择 , 投资 111 , 不投资 000 ; ( j=1,2,⋯,nj = 1,2, \cdots, nj=1,2,⋯,n )

投资额约束条件 : 所有的投资总额不能超过 B\rm BB , ∑j=1najxj≤B\sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B∑j=1najxj≤B ;

分析条件 ① : 投资项目 111 , 必须投资项目 222 , 此时 x1=x2=1x_1 = x_2 = 1x1=x2=1 ; 投资项目 222 可以投资项目 111 , 可以不投资项目 111 , 同时投资的情况上面已经分析过 , 分析后者 x1=1,x2=0,此时x1>x2x_1 = 1, x_2 = 0 , 此时 x_1 > x_2x1=1,x2=0,此时x1>x2 ; 综合上述两种情况就有 x2≥x1x_2 \geq x_1x2≥x1 ;

分析条件 ② : 项目 333 和项目 444 必须至少选 111 个 , 两者选择一个 , 或者都选择 , 二者相加之和是 111 或 222 ; 有约束方程 x3+x4≥1x_3 + x_4 \geq 1x3+x4≥1 ;

分析条件 ③ : 项目 5,6,75,6,75,6,7 只能选择 222 个 , 则三者相加等于 222 即可 ; 约束方程 x5+x6+x7=2x_5 + x_6 + x_7 = 2x5+x6+x7=2 ;

投资问题可以表示为以下线性规划 :

maxZ=∑j=1ncjxjs.t{∑j=1najxj≤Bx2≥x1x3+x4≥1x5+x6+x7=2xj=0,1(j=1,2,⋯,n)\begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B \\\\ \rm x_2 \geq x_1 \\\\ \rm x_3 + x_4 \geq 1 \\\\ \rm x_5 + x_6 + x_7 = 2 \\\\ \rm x_j = 0 , 1 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=1ncjxjs.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∑j=1najxj≤Bx2≥x1x3+x4≥1x5+x6+x7=2xj=0,1 ( j=1,2,⋯,n )

根据【运筹学】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是整数线性规划 ;

上述整数线性规划的松弛问题是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解 , 求出最优解后 , 可能是小数 , 那么如何得到整数问题的最优解 , 不能进行简单的四舍五入 ;

二、整数规划解决的核心问题

给出整数规划问题 ,

先求该整数规划的松弛问题的解 ,

松弛问题就是不考虑整数约束 , 将整数线性规划当做普通的线性规划 , 使用单纯形法求出其最优解 ;

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个值 , 可能不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据整数规划问题的的松弛问题的最优解 , 如何找其整数规划问题的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

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【运筹学】整数规划 ( 整数规划示例 | 整数规划解决的核心问题 )

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一、整数规划示例

二、整数规划解决的核心问题

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