一、指派问题求解步骤

指派问题求解步骤 :

1 . 使行列出现 000 元素 : 指派问题系数矩阵 (cij)(c_{ij})(cij) 变换为 (bij)(b_{ij})(bij) 系数矩阵 , 在 (bij)(b_{ij})(bij) 矩阵中每行每列都出现 000 元素 ;

每行都出现 000 元素 : (cij)(c_{ij})(cij) 系数矩阵中 , 每行都减去该行最小元素 ;
每列都出现 000 元素 : 在上述变换的基础上 , 每列元素中减去该列最小元素 ;

注意必须先变行 , 然后再变列 , 行列不能同时进行改变 ; 否则矩阵中会出现负数 , 该矩阵中不能出现负数 ;

2 . 试指派 : 进行尝试指派 , 寻求最优解 ;

在 (bij)(b_{ij})(bij) 系数矩阵中找到尽可能多的 独立 000 元素 , 如果能找到 nnn 个独立 000 元素 , 以这 nnn 个独立 000 元素对应解矩阵 (xij)(x_{ij})(xij) 中的元素为 111 , 其余元素为 000 , 这样就得到最优解 ;

二、第二步 : 试指派操作示例

在【运筹学】匈牙利法 ( 匈牙利法步骤 | 第一步 : 使行列出现 0 元素示例 ) 博客示例基础上 , 已经得到了行列都有 000 元素的系数矩阵 :

(bij)=[4540010420433710](b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 4 & 5 & 4 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 4 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 3 & \\\\ & 3 & 7 & 1 & 0 & \\ \end{bmatrix}(bij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡4023510740410430⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

下面进行试指派操作 , 试指派就是找独立 000 元素 , 独立 000 元素就是位于不同行不同列的 000 元素 ;

第 111 行只有 111 个 000 , 选第 444 个 ; 每行每列只能选择 111 个 , 第 444 行第 444 列的 000 元素就不能再用了 ;

第 333 行只有 111 个 000 , 选第 222 个 ;

第 222 行有 222 个 000 , 都可以选择 , 这里选择第 111 个 ;

最终试指派结果 :

上面只找到了 333 个独立的 000 元素 , 应该找出 444 个独立 000 元素 ;

调整上述系数矩阵 (bij)(b_{ij})(bij) , 每行每列同时增加或减去一个数 , 且不能出现负数 ;

第 444 行都减去 111 , 得到如下矩阵 :

(bij)=[454001042043260−1](b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 4 & 5 & 4 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 4 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 3 & \\\\ & 2 & 6 & 0 & -1 & \\ \end{bmatrix}(bij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡402251064040043−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

第 444 行第 444 列出现了 −1-1−1 , 这里在将第 444 列都加上 111 , 得到如下矩阵 :

(bij)=[4541010520442600](b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 4 & 5 & 4 & 1 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 5 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 4 & \\\\ & 2 & 6 & 0 & 0 & \\ \end{bmatrix}(bij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡4022510640401540⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

第一行此时没有独立的 000 了 , 第一行再减去 111 , 得到如下矩阵 :

(bij)=[3430010520442600](b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 3 & 4 & 3 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 5 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 4 & \\\\ & 2 & 6 & 0 & 0 & \\ \end{bmatrix}(bij)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡3022410630400540⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

再次进行试指派 , 找到了如下独立 000 元素 ;

在上述没有找到 444 个独立 000 元素后 , 由于在第 444 行没有找到 000 元素 , 开始从第 444 行进行调整 ,

调整时将非 000 的最小值转为 000 , 这样本行就多出一个 000 , 以及负数 , 负数有需要再对应列加上一个值 , 保持矩阵中所有的值都是非负的 ;

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一、指派问题求解步骤

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