Luogu3205 合唱队

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3205

合唱队

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 nnn 个人，第 iii 个人的身高为 hih_ihi 米（1000≤hi≤20001000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 AAA 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

第一个人直接插入空的当前队形中。

对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（hhh 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（hhh 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 nnn 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 666 个人站成一个初始队形，身高依次为 1850,1900,1700,1650,1800,17501850, 1900, 1700, 1650, 1800, 17501850,1900,1700,1650,1800,1750那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

185018501850。

1850,19001850, 19001850,1900，因为 1900>18501900 > 18501900>1850。

1700,1850,19001700, 1850, 19001700,1850,1900，因为 1700<19001700 < 19001700<1900。

1650,1700,1850,19001650, 1700, 1850, 19001650,1700,1850,1900，因为 1650<17001650 < 17001650<1700。

1650,1700,1850,1900,18001650, 1700, 1850, 1900, 18001650,1700,1850,1900,1800，因为 1800>16501800 > 16501800>1650。

1750,1650,1700,1850,1900,18001750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800，因为 1750<18001750 < 18001750<1800。

因此，最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850,1900,18001750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800。

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 196508271965082719650827 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 nnn。
第二行 nnn 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案 mod19650827\bmod 19650827mod19650827 的值。

输入输出样例

输入 #1

4
1701 1702 1703 1704

输出 #1

说明/提示

对于 30%30\%30% 的数据，n≤100n \le 100n≤100。
对于 100%100\%100% 的数据，n≤1000n \le 1000n≤1000，1000≤hi≤20001000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000。

题解

最开始我想的是反向拆解整个序列，用dp[l][r][0/1]dp[l][r][0/1]dp[l][r][0/1]表示左边拆掉lll个，右边拆掉rrr个且最后拆掉的为左侧/右侧的人。噼里啪啦一顿操作以后WA\mathcal{WA}WA了333个点，发现drakdrakdrak不必，这题完全可以正向操作，用dp[l][r][0/1]dp[l][r][0/1]dp[l][r][0/1]表示区间[l,r][l,r][l,r]最后一个人在左侧/右侧的构造方案数，然后把人一个一个加上去。

代码

重构正向代码的时候模数取错了，对着空气DebugDebugDebug了半天……退役老咸鱼落泪。

区间dpdpdp版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,dp[M][M][2],hei[M];
bool vis[M][M];
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&hei[i]);
}
void ac()
{for(int i=1;i<=n;++i)dp[i][i][0]=1;for(int len=2;len<=n;++len)for(int l=n-len+1,r;l>=1;--l){r=l+len-1;if(hei[l]<hei[l+1])(dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][0])%=mod;if(hei[l]<hei[r])(dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][1])%=mod;if(hei[r]>hei[r-1])(dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][1])%=mod;if(hei[r]>hei[l])(dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][0])%=mod;}printf("%d",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%mod);
}
int main(){in(),ac();}

记忆化搜索版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,dp[M][M][2],hei[M];
bool vis[M][M];
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&hei[i]);
}
void dfs(int l,int r)
{if(vis[l][r]||l<0||r>n||l>r)return;vis[l][r]=1;dfs(l+1,r),dfs(l,r-1);if(hei[r]>hei[l])dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][1],dp[l][r][0]%=mod;if(hei[l+1]>hei[l])dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][0],dp[l][r][0]%=mod;if(hei[r-1]<hei[r])dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][1],dp[l][r][1]%=mod;if(hei[l]<hei[r])dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][0],dp[l][r][1]%=mod;
}
void ac()
{for(int i=1;i<n;++i)if(hei[i]<hei[i+1])vis[i][i+1]=1,dp[i][i+1][0]=dp[i][i+1][1]=1;dfs(1,n);printf("%d",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%mod);
}
int main(){in(),ac();}

反向记忆化搜索只有707070版，望众网络大神纠错：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,ans,que[M],dp[M][M][2];
bool vis[M][M][2];
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&que[i]);
}
void dfs(int l,int r,int p)
{if(l<0||l>n||r<0||r>n||vis[l][r][p]||l+r>n)return;
//  printf("%d %d\n",l,r);vis[l][r][p]=1;if(p){dfs(l,r-1,0);dfs(l,r-1,1);if(r>0&&que[l]<que[n-r+1])dp[l][r][p]+=dp[l][r-1][0];if(r>0&&que[n-r+2]>que[n-r+1])dp[l][r][p]+=dp[l][r-1][1];dp[l][r][p]%=mod;return;}dfs(l-1,r,0);dfs(l-1,r,1);if(l>0&&que[l-1]<que[l])dp[l][r][p]+=dp[l-1][r][0];if(l>0&&que[n-r+1]>que[l])dp[l][r][p]+=dp[l-1][r][1];dp[l][r][p]%=mod;
}
void ac()
{dp[1][0][0]=dp[0][1][1]=1;for(int i=0;i<=n;++i)dfs(i,n-i,0),dfs(i,n-i,1);
//  for(int i=0;i<=n;++i)
//  {//      for(int j=0;j<=n-i;++j)
//      printf("%d %d:%d %d\n",i,j,dp[i][j][0],dp[i][j][1]);
//  }for(int i=0;i<=n;++i)ans+=dp[i][n-i][0]+dp[i][n-i][1],ans%=mod;printf("%d",ans>>1);
}
int main()
{in(),ac();
}