问题描述：

分割等和子集：给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
例子：输入nums = {1, 5, 11 , 5}; 输出true。

动态规划求解

这是一个0-1背包问题的变种，也就是每种物品只能选择一次。与之对应的是完全背包问题，选择每种物品的数量是不限制的，可以与另一篇博文对照来看。将非空数组 nums，分为两部分，使得两部分的和相等，该问题等价于从数组中选择部分数字，使得其和等于数组总和的一半。特别的当数组总和sum为基奇数，不可能将数组拆成相等的两部分，直接返回false。
令dp[i][j]dp[ i ][ j ]dp[i][j]表示，选择数组前iii个元素，其和是否能为jjj。则有：
当j>=nums[i−1]j >= nums[i-1]j>=nums[i−1]时，可以选择不添加该元素直接得到j，或者由添加该元素得到j，即
dp[i][j]=dp[i−1][j]∣∣dp[i−1][j−nums[i−1]]dp[ i ][ j ] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i-1]]dp[i][j]=dp[i−1][j]∣∣dp[i−1][j−nums[i−1]]
当j<nums[i−1]j < nums[i-1]j<nums[i−1]时，当前元素不可选择，否则会直接超出j，有
dp[i][j]=dp[i−1][j]dp[ i ][ j ] = dp[i-1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]
特别的dp[0][0]=1dp[ 0 ][ 0 ] = 1dp[0][0]=1，因为和为0只有一种情况：不选择任何元素。
在本示例中有，dp[2][6]=dp[1][6−nums[1]]∣∣dp[1][6]=dp[1][1]∣∣dp[1][6]=truedp[2][6] = dp[1][6-nums[1]] || dp[1][6] = dp[1][1] || dp[1][6] = truedp[2][6]=dp[1][6−nums[1]]∣∣dp[1][6]=dp[1][1]∣∣dp[1][6]=true，返回值即为dp[nums.length][sum/2]=dp[4][11]=truedp[nums.length][sum/2] = dp[4][11] = truedp[nums.length][sum/2]=dp[4][11]=true。

程序实现需要编写两层循环，分别对应数组长度iii和和jjj。需要注意的是iii循环时从1开始，总数jjj循环时从0开始，第iii元素的值为nums[i−1]nums[i-1]nums[i−1]。运行结果为33 ms 42.4 MB。

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int len = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums){sum += num;}if(sum % 2 != 0){return false;}int target = sum /2;boolean[][] dp = new boolean[len +1][target + 1];dp[0][0] = true;for (int i = 1; i <=len; i++) {for (int j = 0; j <=target; j++) {if(nums[i-1] <= j){dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i-1][j - nums[i-1]];}else{dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[len][target];}
}

空间复杂度优化

考虑到dp[i][j]dp[ i ][ j ]dp[i][j]的值仅与第i−1i-1i−1行有关系，可以采用滚动数组的思想来降低空闲复杂度。具体的，只维护一维的dpdpdp数组，其状态更新关系为：
dp[j]=dp[j−nums[i−1]]+dp[j]dp[ j ] = dp[ j-nums[i-1]] + dp[j] dp[j]=dp[j−nums[i−1]]+dp[j]

需要注意的是，第二层的循环我们需要从大到小计算，因为如果我们从小到大更新 dpdpdp值，那么在计算 dp[j]dp[j]dp[j] 值的时候， dp[j−nums[i−1]]dp[j- nums[i-1]]dp[j−nums[i−1]]已经是被更新过的状态，不再是上一行的 dpdpdp 值。运行结果为 19 ms 39.6 MB，可以看到空间使用情况有所降低。

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int len = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums){sum += num;}if(sum % 2 != 0){return false;}int target = sum /2;boolean[] dp = new boolean[target + 1];dp[0] = true;for (int i = 1; i <=len; i++) {for (int j = target; j >=nums[i-1]; j--) {dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i-1]];}}return dp[target];}
}

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