文章目录

一、(CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 系数分析
二、CBC_BCB XBX_BXB 分析
三、CNC_NCN XNX_NXN 分析
四、B−1NB^{-1}NB−1N 分析
五、单纯形表
六、最优解判定

在上一篇博客【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 可行解表示 | 目标函数推导 | 目标函数最大值分析 ) 博客中讲解了最优解判定的推导过程 , 基本原理就是

将可行解 {XB=B−1b−B−1NXNXN\begin{cases} X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N \\ \\X_N \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧XB=B−1b−B−1NXNXN
代入线性规划目标函数 maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^TX_B + C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN 中 ,
最终得到一个 maxZ=b0+(CNT−CBTB−1N)XNmaxZ = b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_NmaxZ=b0+(CNT−CBTB−1N)XN 目标函数 ,
只有当 (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 系数小于等于 000 时 , 该目标函数才是最大值 , 该解是最优解 ;

单纯形法解线性规划的三大问题 : 查找初始基可行解 , 判定是否是最优解 , 如何迭代基可行解 , 当前讨论的问题是判定最优解 ;

一、(CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 系数分析

目标函数推导 :

maxZ=CBT(B−1b−B−1NXN)+CNTXN=CBTB−1b−CBTB−1NXN+CNTXN=b0+(CNT−CBTB−1N)XN=b0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn\begin{array}{lcl} max Z &=& C_B^T ( B^{-1}b - B^{-1}NX_N ) + C_N^TX_N \\\\ &=& C_B^T B^{-1}b - C_B^T B^{-1}NX_N + C_N^TX_N\\\\ &=& b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N \\\\ &=& b_0 + \sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n} \\\\ \end{array}maxZ====CBT(B−1b−B−1NXN)+CNTXNCBTB−1b−CBTB−1NXN+CNTXNb0+(CNT−CBTB−1N)XNb0+σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn

上述分析到在 XN=OX_N = OXN=O 时 , 如果使目标函数取值最大 ,

σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn\sigma_{m+1} x_{m+1} + \sigma_{m+2} x_{m+2} + \cdots + \sigma_{n} x_{n}σm+1xm+1+σm+2xm+2+⋯+σnxn

系数都小于等于 000 时 , 满足上述要求 ;

上面的系数是通过 (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 计算出来的 ;

CNTC_N^TCNT 是目标函数中 , 非基变量的系数 ;
CBTC_B^TCBT 是目标函数中 , 基变量的系数 ;

B−1NB^{-1}NB−1N : B−1NB^{-1}NB−1N 是将基矩阵进行变换 , 将基矩阵变换为单位阵 III , 非基矩阵就是 B−1NB^{-1}NB−1N ;

二、CBC_BCB XBX_BXB 分析

CBC_BCB 与 XBX_BXB 矩阵分析 :

CBTC_B^TCBT 矩阵与 XBX_BXB 的对应关系 , XB=(x1x2⋮xm)X_B =\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots\\ x_m \end{pmatrix}XB=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xm⎠⎟⎟⎟⎞ , CB=(c1c2⋮cm)C_B =\begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots\\ c_m \end{pmatrix}CB=⎝⎜⎜⎜⎛c1c2⋮cm⎠⎟⎟⎟⎞ , CBT=(c1c2⋯cm)C_B^T =\begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix}CBT=(c1c2⋯cm) ;

目标函数为 maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^T X_B+ C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN , 在目标函数中 , 有以下对应关系 :

其中的 CBTXB=(c1c2⋯cm)×(x1x2⋮xm)C_B^T X_B = \begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots\\ x_m \end{pmatrix}CBTXB=(c1c2⋯cm)×⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xm⎠⎟⎟⎟⎞ , c1c_1c1 与 x1x_1x1 对应 , cmc_mcm 与 xmx_mxm 对应 ;

三、CNC_NCN XNX_NXN 分析

CNC_NCN 与 XNX_NXN 矩阵分析 :

CNTC_N^TCNT 矩阵与 XNX_NXN 的对应关系 , XN=(xm+1xm+2⋮xn)X_N =\begin{pmatrix} x_{m+1} \\ x_{m+2} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}XN=⎝⎜⎜⎜⎛xm+1xm+2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ , CN=(cm+1cm+2⋮cn)C_N =\begin{pmatrix} c_{m+1} \\ c_{m+2} \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}CN=⎝⎜⎜⎜⎛cm+1cm+2⋮cn⎠⎟⎟⎟⎞ , CNT=(cm+1cm+2⋯cn)C_N^T =\begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix}CNT=(cm+1cm+2⋯cn) ;

目标函数为 maxZ=CBTXB+CNTXNmax Z = C_B^T X_B+ C_N^TX_NmaxZ=CBTXB+CNTXN , 在目标函数中 , 有以下对应关系 :

同理 , CNC_NCN 与 XNX_NXN 矩阵计算 , CNTXN=(cm+1cm+2⋯cn)×(xm+1xm+2⋮xn)C_N^T X_N = \begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_{m+1} \\ x_{m+2} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}CNTXN=(cm+1cm+2⋯cn)×⎝⎜⎜⎜⎛xm+1xm+2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞ , cm+1c_{m+1}cm+1 与 xm+1x_{m+1}xm+1 对应 , cnc_ncn 与 xnx_nxn 对应 ;

四、B−1NB^{-1}NB−1N 分析

B−1NB^{-1}NB−1N 分析 :

线性规划约束条件是
BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b , 其系数矩阵是 (BN)\begin{pmatrix} \, B \quad N \, \end{pmatrix}(BN) 样式的 , 在 BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b 两端都乘以 B−1B^{-1}B−1 , 然后移项得到

XB+B−1NXN=B−1bX_B + B^{-1}NX_N= B^{-1}bXB+B−1NXN=B−1b

, 此时当基变量是单位阵 III 时 , 非基变量就是 B−1NB^{-1}NB−1N , 系数矩阵是 (IB−1N)\begin{pmatrix} \, I \quad B^{-1}N \, \end{pmatrix}(IB−1N)

五、单纯形表

通过计算 (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) , 是否是负数 , 可以判定当前的解是否是最优解 ;

将上述 CNTC_N^TCNT , CBTC_B^TCBT , B−1B^{-1}B−1 , NNN 等写在一个表中 , 该表就是如下单纯形表 ;

在上述单纯形表中 , 假设前 mmm 个向量是基变量 , 将基变量对应的矩阵 , 变换为单位阵 , 单位阵 III 与 B−1NB^{-1}NB−1N 如下图所示 :

六、最优解判定

目标函数推导 :

最终目标是计算 σm+1,σm+2,⋯,σn\sigma_{m+1} , \sigma_{m+2} , \cdots , \sigma_{n}σm+1,σm+2,⋯,σn 系数是否小于等于 000 ;

上面已经推导出目标函数的系数是 (CNT−CBTB−1N)( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )(CNT−CBTB−1N) 矩阵 :

CNT=(cm+1cm+2⋯cn)C_N^T=\begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix}CNT=(cm+1cm+2⋯cn)
CBT=(c1c2⋯cm)C_B^T = \begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix}CBT=(c1c2⋯cm)
B−1N=[a1,m+1⋯a1n⋮⋮⋮am,m+1⋯amn]B^{-1}N =\begin{bmatrix} &a_{1,m+1} & \cdots & a_{1n} & \\\\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\\\ &a_{m,m+1} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix}B−1N=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1,m+1⋮am,m+1⋯⋮⋯a1n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(CNT−CBTB−1N)=(cm+1cm+2⋯cn)−(c1c2⋯cm)×[a1,m+1⋯a1n⋮⋮⋮am,m+1⋯amn]( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) = \begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} &a_{1,m+1} & \cdots & a_{1n} & \\\\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\\\ &a_{m,m+1} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix}(CNT−CBTB−1N)=(cm+1cm+2⋯cn)−(c1c2⋯cm)×⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1,m+1⋮am,m+1⋯⋮⋯a1n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

=(σm+1σm+2⋯σn)= \begin{pmatrix} \sigma_{m+1} \quad \sigma_{m+2} \quad \cdots \quad \sigma_n \end{pmatrix}=(σm+1σm+2⋯σn)

σj\sigma_jσj 个系数的公式如下 :

σj=cj−∑ciaij\sigma_j = c_j - \sum c_i a_{ij}σj=cj−∑ciaij

其中 cjc_jcj 对应的是非基变量在目标函数系数 , cic_ici 是基变量在目标函数中的系数 , aija_{ij}aij 是 B−1NB^{-1}NB−1N 中的矩阵向量 , 代表一列 ;

如 :

σm+1=cm+1−∑i=1nciai,m+1=cm+1−c1a1,m+1−c2a2,m+1−⋯−cnan,m+1\begin{array}{lcl} \sigma_{m+1} &=& c_{m+1} - \sum_{i = 1}^{n} c_i a_{i, m+1} \\\\ &=& c_{m+1} - c_1a_{1,m+1} - c_2a_{2,m+1} - \cdots - c_na_{n,m+1} \end{array}σm+1==cm+1−∑i=1nciai,m+1cm+1−c1a1,m+1−c2a2,m+1−⋯−cnan,m+1

如果所有的 σj\sigma_jσj 系数值, 都小于等于 000 , 说明该基可行解就是最优解 ;

最优解判定示例 :

① 不是最优解的情况 : 如果最终计算的系数是 maxZ=88+3x6−4x7max Z = 88 + 3x_6 - 4x_7maxZ=88+3x6−4x7 , 此时 x6x_6x6 的系数 σ6\sigma_6σ6 大于 000 , 该函数不是最优解 ;

② 是最优解的情况 : 如果最终计算的系数是 maxZ=88−3x6−4x7max Z = 88 - 3x_6 - 4x_7maxZ=88−3x6−4x7 , 所有的系数都是小于等于 000 的值 , 该基矩阵对应的解就是最优解 ;

只要有一个系数不是小于等于 000 的 , 那么该解就不是最优解 , 就需要继续向下迭代 ;

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