BZOJ2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) 莫队算法莫队算法讲解及时间复杂度证明

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

莫队算法：

将1~n分块
将询问离线处理，对于左端点在同一块中的按照右端点的大小排序，右端点较小的在前；
对于左端点不在同一块中的，按照左端点所在块大小排序，左端点较小的在前面；
这样排序之后，我们将排序后的区间从前往后计算，询问区间之间转移时只需要添加进来新的点和删除多余的点

莫队时间复杂度证明（最好有一些莫队的基础）：

0.首先我们知道在转移一个单位距离的时候时间复杂度是O（1）

1：对于左端点在同一块中的询问：
右端点转移的时间复杂度是O（n），一共有√n块，所以右端点转移的时间复杂度是O（n√n）
左端点每次转移最差情况是O（√n），左端点在块内会转移n次，左端点转移的时间复杂度是O（n√n）；

2：对于左端点跨越块的情况：
会跨区间O（√n）次；
左端点的时间复杂度是O（√n*√n）=O（n）可以忽略不计
右端点因为在跨越块时是无序的，右端点跨越块转移一次最差可能是O（n），可能跨越块转移√n次，所以时间复杂度是O（n√n）

所以总的来说莫队的时间复杂度是O（n√n）；

题解：用一点儿数学知识来转移就可以了，记得约分

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 50010
#define ll long long
ll n,m,ans;
ll c[N],pos[N],s[N];
struct pp
{ll l,r,num;ll son,mom;} a[N];
ll gcd(ll x,ll y)
{if(y==0) return x;return gcd(y,x%y);
}
bool cmp(pp u,pp v)
{if(pos[u.l]==pos[v.l]) return u.r<v.r;return u.l<v.l;
}
bool cmp1(pp u,pp v)
{return u.num<v.num;}
void init()
{for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&c[i]);ll len=sqrt(n);for(ll i=1;i<=n;i++) pos[i]=(i-1)/len+1;for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&a[i].l,&a[i].r);a[i].num=i;}sort(a+1,a+m+1,cmp);
}
void modify(ll p,ll add)
{ans-=s[c[p]]*s[c[p]];s[c[p]]+=add;ans+=s[c[p]]*s[c[p]];
}
void modui()
{ll l=1,r=0;for(ll i=1;i<=m;i++){for(;r<a[i].r;r++) modify(r+1,1);for(;r>a[i].r;r--) modify(r,-1);for(;l<a[i].l;l++) modify(l,-1);for(;l>a[i].l;l--) modify(l-1,1);if(a[i].l==a[i].r) a[i].son=0,a[i].mom=1;else{a[i].son=ans-(a[i].r-a[i].l+1);a[i].mom=(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l);ll k=gcd(a[i].son,a[i].mom);a[i].son/=k,a[i].mom/=k;}}sort(a+1,a+m+1,cmp1);
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);init();modui();for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld/%lld\n",a[i].son,a[i].mom);
}