BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)【莫队算法裸题学习笔记】

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2038

分析：莫队算法可以解决一类不修改、离线查询问题。

写了个直接分段解决的办法。把1~n分成sqrt(n)段。unit = sqrt(n)m个查询先按照第几个块排序，再按照 R排序。然后直接求解。

学习自kuangbinQAQ

学习笔记：

对于一个区间的概率，就是每种颜色选2个相同的方案数的和/总的选择方案数

化简之后，就是区间内 (每种颜色的数量^2的和-区间长度)/（区间长度*区间长度减1)

问题变为快速求一个区间内每种颜色数量的平方的和

线段树？可以每种颜色单独维护平方，但是会被卡

所以用到了莫队算法

使用范围：

可离线且在得到区间[l,r]的答案后，能在O(1)或O(log2n)得到区间[l,r+1]或[l−1,r]的答案

其实就是找一个数据结构支持插入、删除时维护当前答案。

这样的话，如果已知[l,r]的答案，要求[l’,r’]的答案，我们很容易通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。

抽象成平面上的点，我们要按一定顺序计算每个值，那开销就为曼哈顿距离的和。曼哈顿距离最小生成树

这里通常用分块解决

n个数分块

按区间排序，以左端点所在块内为第一关键字，右端点为第二关键字，进行排序，

复杂度分析是这样的：
1、i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n^0.5块，所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5，跨越一块也不会超过n^0.5，由于有m次询问（和n同级），所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了

下面给出AC代码：

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 typedef long long ll;
  4 const int maxn=50050;
  5 const int minn=50050;
  6 inline int read()
  7 {
  8     int x=0,f=1;
  9     char ch=getchar();
 10     while(ch<'0'||ch>'9')
 11     {
 12         if(ch=='-')
 13             f=-1;
 14         ch=getchar();
 15     }
 16     while(ch>='0'&&ch<='9')
 17     {
 18         x=x*10+ch-'0';
 19         ch=getchar();
 20     }
 21     return x*f;
 22 }
 23 inline void write(int x)
 24 {
 25     if(x<0)
 26     {
 27         putchar('-');
 28         x=-x;
 29     }
 30     if(x>9)
 31         write(x/10);
 32     putchar(x%10+'0');
 33 }
 34 struct Query
 35 {
 36     int L,R,id;
 37 }node[maxn];
 38 ll gcd(ll a,ll b)///求最大公约数
 39 {
 40     return b==0?a:gcd(b,a%b);
 41 }
 42 struct Ans
 43 {
 44     ll a,b;
 45     void reduce()///分数简化操作
 46     {
 47         ll d=gcd(a,b);
 48         a/=d;
 49         b/=d;
 50     }
 51 }ans[maxn];
 52 int a[maxn];
 53 int num[maxn];
 54 int n,m,unit;
 55 bool cmp(Query a,Query b)///把1~n分成sqrt(n)段,unit=sqrt(n)m个查询先按照第几个块排序,再按照R排序,分块处理
 56 {
 57     if(a.L/unit!=b.L/unit)
 58         return a.L/unit<b.L/unit;
 59     else return a.R<b.R;
 60 }
 61 void work()
 62 {
 63     ll temp=0;
 64     memset(num,false,sizeof(num));
 65     int L=1;
 66     int R=0;
 67     for(int i=0;i<m;i++)///莫队算法核心部分
 68     {
 69         while(R<node[i].R)
 70         {
 71             R++;
 72             temp-=(ll)num[a[R]]*num[a[R]];
 73             num[a[R]]++;
 74             temp+=(ll)num[a[R]]*num[a[R]];
 75         }
 76         while(R>node[i].R)
 77         {
 78             temp-=(ll)num[a[R]]*num[a[R]];
 79             num[a[R]]--;
 80             temp+=(ll)num[a[R]]*num[a[R]];
 81             R--;
 82         }
 83         while(L<node[i].L)
 84         {
 85             temp-=(ll)num[a[L]]*num[a[L]];
 86             num[a[L]]--;
 87             temp+=(ll)num[a[L]]*num[a[L]];
 88             L++;
 89         }
 90         while(L>node[i].L)
 91         {
 92             L--;
 93             temp-=(ll)num[a[L]]*num[a[L]];
 94             num[a[L]]++;
 95             temp+=(ll)num[a[L]]*num[a[L]];
 96         }
 97         ans[node[i].id].a=temp-(R-L+1);
 98         ans[node[i].id].b=(ll)(R-L+1)*(R-L);
 99         ans[node[i].id].reduce();
100     }
101 }
102 int main()
103 {
104     //freopen("in.txt","r",stdin);
105     //freopen("out.txt","w",stdout);
106     while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
107     {
108         for(int i=1;i<=n;i++)
109             a[i]=read();
110         for(int i=0;i<m;i++)
111         {
112             node[i].id=i;
113             node[i].L=read();
114             node[i].R=read();
115         }
116         unit=(int)sqrt(n);
117         sort(node,node+m,cmp);
118         work();
119         for(int i=0;i<m;i++)
120         {
121             printf("%lld/%lld\n",ans[i].a,ans[i].b);
122         }
123     }
124     return 0;
125 }