骑士周游问题

在一个国际象棋棋盘上，一个棋子"马"(骑士),按照"马走日"的规则，从一个格子出发，要走遍所有棋盘格恰好一次

把一个这样的走棋序列称为一次"周游"

在8x8的国际象棋棋盘上，合格的"周游"数量有1.305x10^35这么多，走棋过程中失败的周游就更多了

采用图搜索算法，是解决骑士周游问题最容易理解和编程的方案之一

解决方案还是分为两步：

首先将合法走棋次序表示为一个图
- 采用图搜索算法搜寻一个长度为(行X列-1)的路径，路径上包含每个顶点恰一次

将棋盘和走棋步骤构建为图的思路

将棋盘格作为顶点
按照“马走日”规则的走棋步骤作为连接边
建立每一个棋盘格的所有合法走棋步骤能够到达的棋盘格关系图
示例代码

def genlegalMoves(x,y,bdSize):newMoves = []moveOffsets = [(-1,-2),(-1,2),(-2,-1),-2,1),( 1,-2),(1,2),( 2,-1),( 2,1)]    #马可以走的八个格子for i in moveOffsets:newX = x + i[0]newY = y + i[1]if legalCoord(newX,bdSize) and legalCoord(newY, bdSize):         #合法的坐标newMoves.append((newX,newY))return newMovesdef legalCoord(x, bdSize):if x >= 0 and x < bdSize:              #确认不会走出棋盘return Trueelse:return False

构建走棋关系图

示例代码

def knightGraph(bdSize):ktGraph = Graph()for row in range(bdSize):for col in range(bdSize):          #遍布每个格子nodeId = posToNodeId(row, col, bdSize)newPositions = genLegalMoves(row,col,bdSize)             #新的位置,单步合法走棋for e in newPositions:nid = posToNodeId(e[0],e[1],bdSize)ktGraph.addEdge(nodeId,nid)  #添加边及顶点return ktGraphdef posToNodeId(row,col,bdSize):return row*bdSize+col

8x8棋盘生成的图

具有336条边，相比起全连接的4096条边，仅8.2%,还是稀疏图

骑士周游算法实现

用于解决骑士周游问题的图搜索算法是深度优先搜索(Depth First Search)

相比前述的广度优先搜索，其逐层建立搜索树的特点

深度优先搜索是沿着树的单支尽量深入向下搜索

如果到无法继续的程度还未找到问题解，就回溯上一层再搜索下一支

DFS的两个实现算法

一个DFS算法用于解决骑士周游问题，其特点是每个顶点仅访问一次
另一个DFS算法更为通用，允许节点被重复访问，可作为其他图算法的基础

深度优先搜索解决骑士周游的关键思路

如果沿着单支深入搜索到无法继续(所有合法移动都已经被走过了)时
路径长度还没有到达预定值(8X8棋盘为63),那么清除颜色标记，返回到上一层，换一个分支继续深入搜索

引入一个栈来记录路径

并实施返回上一层的回溯操作

代码实现

def knightTour(n, path, u, limit):    #n:层次，path:路径, u:当前顶点, limit:搜索总深度u.setColor('gray')path.append(u)if n < limit:nbrList = list(u.getConnections())        #对所有合法移动逐一深入i = 0done = Falsewhile i < len(nbrList) and not done:if nbrList[i].getColor() == 'white':    #选择白色未经过的顶点深入done = knightTour(n+1, path, nbrList[i], limit)i = i + 1if not done: #  准备放弃path.pop()u.setColor('white')        #都无法完成总深度，回溯，试本层下一个顶点else:done = Truereturn done

图解

其中一个解

从底下正中央

算法分析与改进

上述算法的性能高度依赖于棋盘大小:

5X5棋盘，约1.5秒可以得到一个周游路径
8X8棋盘，则要半个小时以上才能得到一个解

目前实现的算法，其复杂度为O(k^n),其中n是棋盘格数目

这是一个指数时间复杂度的算法！其搜索过程表现为一个层次为n的树

即便是指数时间复杂度算法也可以再实际性能上加以大幅度改进

对nbrList的灵巧改造，以特定方式排列顶点访问次序，使8X8棋盘的周游路径搜索时间降低到秒级

这个改进算法被特别以发明者名字命名:Warnsdorff算法

初始算法中，直接以原始顺序来确定深度优先搜索的分支次序

新的算法，仅修改了遍历下一格的次序

将u的合法移动目标棋盘格排序为:具有最少合法移动目标的格子优先搜索

def orderByAvail(n):resList = []for v in n.getConnections():if v.getColor() == 'white':c = 0for w in v.getConnections():if w.getColor() == 'white':c = c + 1resList.append((c,v))resList.sort(key=lambda x: x[0])return [y[1] for y in resList]

采用先验的知识来改进算法性能的做法，称作为"启发式规则heuristic"

启发式规则经常用于人工智能领域；
可以有效的减小搜索范围，更快达到目标等等；
如棋类程序算法，会预先存如棋谱、布阵口诀、高手习惯等"启发式规则".能够在最短的时间内从海量的棋局落子点搜索树中定位最佳落子。

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2.17_knight_tour_骑士周游问题 (深度优先 DFS)
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图应用：骑士周游问题

骑士周游问题

在一个国际象棋棋盘上，一个棋子"马"(骑士),按照"马走日"的规则，从一个格子出发，要走遍所有棋盘格恰好一次

在8x8的国际象棋棋盘上，合格的"周游"数量有1.305x10^35这么多，走棋过程中失败的周游就更多了

采用图搜索算法，是解决骑士周游问题最容易理解和编程的方案之一

解决方案还是分为两步：

将棋盘和走棋步骤构建为图的思路

构建走棋关系图

8x8棋盘生成的图

具有336条边，相比起全连接的4096条边，仅8.2%,还是稀疏图

骑士周游算法实现

用于解决骑士周游问题的图搜索算法是深度优先搜索(Depth First Search)

相比前述的广度优先搜索，其逐层建立搜索树的特点

深度优先搜索是沿着树的单支尽量深入向下搜索

DFS的两个实现算法

深度优先搜索解决骑士周游的关键思路

引入一个栈来记录路径

代码实现

图解

其中一个解

算法分析与改进

上述算法的性能高度依赖于棋盘大小:

目前实现的算法，其复杂度为O(k^n),其中n是棋盘格数目

即便是指数时间复杂度算法也可以再实际性能上加以大幅度改进

这个改进算法被特别以发明者名字命名:Warnsdorff算法

初始算法中，直接以原始顺序来确定深度优先搜索的分支次序

新的算法，仅修改了遍历下一格的次序

采用先验的知识来改进算法性能的做法，称作为"启发式规则heuristic"

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