matlab中矩阵的各种分解

矩阵分解
.1 Cholesky分解
函数 chol
格式 R = chol(X)      %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X)   %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
2 LU分解
矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
函数 lu
格式 [L,U] = lu(X)     %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X)   %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。

3 QR分解
将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
函数 qr
格式 [Q,R] = qr(A)     %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A)   %求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。
[Q,R] = qr(A,0)    %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A)         %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R = A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
[C,R] = qr(A,b)    %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0)       %针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0)   %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
函数 qrdelete
格式 [Q,R] = qrdelete(Q,R,j)   %返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解
函数 qrinsert
格式 [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x)   %在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。

4 特征值分解
函数 eig
格式 d = eig(A)         %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。
d = eig(A,B)       %A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。
[V,D] = eig(A)      %计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。
[V,D] = eig(A,'nobalance')   %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。
[V,D] = eig(A,B)    %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。
[V,D] = eig(A,B,flag)   % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的可能值为：'chol' 表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。'qz' 表示使用QZ算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。
说明一般特征值问题是求解方程：解的问题。广义特征值问题是求方程：解的问题。

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