曲线曲面积分、重积分总结
文章目录
- 写在前面
- 曲线积分
- 第一型曲线积分
- 引入
- 定义
- 性质
- 计算方法
- 第二型曲线积分
- 引入
- 定义
- 性质
- 计算
- 二重积分
- 引入
- 定义
- 性质
- Green公式
- 曲线积分与路线的无关性
- 变量替换
- 直角坐标变换
- 极坐标变换
- 广义极坐标变换
- 三重积分
- 引入
- 化成累次积分
- “先切条，后扎捆”：先对高积分，后对截面积分
- “先切面，后叠加”：先对截面积分，后对高积分
- 变量替换
- 一般情况
- 柱面坐标变换
- 球坐标变换
- 广义球坐标变换
- 曲面积分
- 第一型曲面积分
- 引入
- 计算
- 第二型曲面积分
- 曲面的侧
- 引入
- 性质
- 计算
- Gauss公式
- 定理
- Stokes公式
- 右手法则
- 定理
- 另一种形式
- 空间曲线积分与路线的无关性
写在前面
总结常见的各种曲线曲面积分以及重积分，参考华东师大版《数学分析(下册)》（第四版）。
曲线积分
研究定义在平面或空间曲线段上的函数的积分。
第一型曲线积分
引入
利用密度函数的积分求质量，即在计算质量分布在平面（二维）或空间曲线段（三维）LLL上的物体的质量时，使用第一型曲线积分。第一型曲线积分与曲线的方向无关。
定义
设LLL为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)是定义在LLL上的函数。对曲线LLL作分割TTT,它把LLL分割成nnn个可求长度的小曲线段Li(i=1,2,⋯,n)L_i\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)Li(i=1,2,⋯,n)，LiL_iLi的弧长记为Δsi\Delta s_iΔsi，分割TTT的细度为∥T∥=max1⩽i⩽nΔsi\|T\|=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\Delta s_i∥T∥=1⩽i⩽nmaxΔsi，在LiL_iLi上任取一点(ξi,ηi),i=1,2,⋯,n(\xi_i,\,\eta_i),\,i=1,\,2,\,\cdots,\,n(ξi,ηi),i=1,2,⋯,n. 若有极限
lim∥T∥→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi=J,\lim_{\|T\|\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\,\eta_i)\,\Delta s_i=J, ∥T∥→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δsi=J,
且JJJ的值与分割TTT、点(ξi,ηi)(\xi_i,\,\eta_i)(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在LLL上的第一型曲线积分，记作
∫Lf(x,y)ds.\int_Lf(x,\,y)\,\mathrm{d}s. ∫Lf(x,y)ds.
性质
线性性；
区间可加性；
积分不等式；
绝对值不等式；
若∫Lf(x,y)ds\int_Lf(x,\,y)\,\mathrm{d}s∫Lf(x,y)ds存在，LLL的弧长为sss，则存在常数ccc，使得
∫Lf(x,y)ds=cs,\int_Lf(x,\,y)\,\mathrm{d}s=cs, ∫Lf(x,y)ds=cs,
这里infLf(x,y)⩽c⩽supLf(x,y)\inf\limits_Lf(x,\,y)\leqslant c\leqslant\sup\limits_Lf(x,\,y)Linff(x,y)⩽c⩽Lsupf(x,y).几何意义：以定义在平面OxyOxyOxy上的分段光滑曲线LLL为准线，母线平行于zzz轴的柱面截取0⩽z⩽f(x,y)0\leqslant z\leqslant f(x,\,y)0⩽z⩽f(x,y)部分的面积。
计算方法
定理：
设有光滑曲线
L:{x=φ(t),y=ψ(t),t∈[α,β],L: \begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t), \end{cases} \quad t\in [\alpha,\,\beta], L:{x=φ(t),y=ψ(t),t∈[α,β],
函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)为定义在LLL上的连续函数，则有
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt.\int_Lf(x,\,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\,\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\,}\,\mathrm{d}t. ∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt.
证明思路：由弧长公式和积分中值定理得到。
另一种常用的格式：
当曲线LLL由方程y=ψ(x),x∈[a,b]y=\psi(x),\,\,x\in[a,\,b]y=ψ(x),x∈[a,b]表示，且ψ(x)\psi(x)ψ(x)在[a,b][a,\,b][a,b]上有连续导函数时，有
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(x,ψ(x))1+ψ′2(t)dx.\int_Lf(x,\,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x,\,\psi(x))\sqrt{1+\psi'^2(t)\,}\,\mathrm{d}x. ∫Lf(x,y)ds=∫αβf(x,ψ(x))1+ψ′2(t)dx.
第二型曲线积分
引入
物理学中的变力做功问题。第二型曲线积分与曲线的方向有关。
定义
设函数P(x,y),Q(x,y)P(x,\,y),\ Q(x,\,y)P(x,y), Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L:AB⌢L:\stackrel{\LARGE{\frown}}{AB}L:AB⌢上。对LLL的任一分割TTT, 它把LLL分成nnn个小弧段
Mi−1Mi^(i=1,2,⋯,n)\widehat{M_{i-1}M_i}\quad (i=1,\,2,\,\cdots,\,n) Mi−1Mi(i=1,2,⋯,n)
其中M0=A,Mn=BM_0=A,\,M_n=BM0=A,Mn=B, 记各小弧段Mi−1Mi^\widehat{M_{i-1}M_i}Mi−1Mi的弧长为Δsi\Delta s_iΔsi，分割TTT的细度∥T∥=max1⩽i⩽nΔsi\|T\|=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\Delta s_i∥T∥=1⩽i⩽nmaxΔsi. 又设TTT的分点MiM_iMi的坐标为(xi,yi)(x_i,\,y_i)(xi,yi)，记Δxi=xi−xi−1,Δyi=yi−yi−1(i=1,2,⋯,n)\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\,\Delta y_i=y_i-y_{i-1}\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)Δxi=xi−xi−1,Δyi=yi−yi−1(i=1,2,⋯,n)。在每个小弧段Mi−1Mi^\widehat{M_{i-1}M_i}Mi−1Mi上任取一点(ξi,ηi)(\xi_i,\,\eta_i)(ξi,ηi)，若极限
lim∥T∥→0∑i=1nP(ξi,ηi)Δxi+lim∥T∥→0∑i=1nQ(ξi,ηi)Δyi\lim_{\|T\|\to0}\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\,\eta_i)\,\Delta x_i+\lim_{\|T\|\to0}\sum_{i=1}^nQ(\xi_i,\,\eta_i)\,\Delta y_i ∥T∥→0limi=1∑nP(ξi,ηi)Δxi+∥T∥→0limi=1∑nQ(ξi,ηi)Δyi
存在且与分割TTT与点(ξi,ηi)(\xi_i,\,\eta_i)(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)P(x,\,y),\,Q(x,\,y)P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线LLL上的第二型曲线积分，记为
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy或∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy.\int_LP(x,\,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,\,y)\,\mathrm{d}y\quad\text{或}\quad\int_{AB}P(x,\,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,\,y)\,\mathrm{d}y. ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy或∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy.
若LLL为封闭的有向曲线，则记为
∮LPdx+Qdy.\oint_LP\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y. ∮LPdx+Qdy.
性质
- 线性性；
- 有向线段首尾相接，积分值不变（向量加法）；
- 方向改变，符号相反，即：∫ABPdx+Qdy=−∫BAPdx+Qdy\int_{AB}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=-\int_{BA}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y∫ABPdx+Qdy=−∫BAPdx+Qdy.
计算
设平面曲线
L:{x=φ(t),y=ψ(t),t∈[α,β],L:\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),\end{cases}\quad t\in [\alpha,\,\beta], L:{x=φ(t),y=ψ(t),t∈[α,β],
其中 φ(t),ψ(t)\varphi(t),\,\psi(t)φ(t),ψ(t)在[α,β][\alpha,\,\beta][α,β]上具有一阶连续导函数，且A=(φ(α),ψ(α)),B=(φ(β),ψ(β))A=\big(\varphi(\alpha),\,\psi(\alpha)\big),\,B=\big(\varphi(\beta),\,\psi(\beta)\big)A=(φ(α),ψ(α)),B=(φ(β),ψ(β))，又设P(x,y)P(x,\,y)P(x,y)与Q(x,y)Q(x,\,y)Q(x,y)为LLL上的连续函数，则沿LLL从AAA到BBB的第二型曲线积分
∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)]dt.\begin{aligned} &\int_{AB}P(x,\,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,\,y)\,\mathrm{d}y\\ =&\int_\alpha^\beta \Big[P(\varphi(t),\,\psi(t))\,\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\,\psi(t))\,\psi'(t)\Big]\,\mathrm{d}t. \end{aligned} =∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy∫αβ[P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)]dt.
二重积分
引入
计算曲顶柱体的体积。
定义
与定积分类似。
性质
线性性；
积分不等式；
积分的绝对值不等式；
若函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在D1,D2D_1,\,D_2D1,D2上都可积，且D1,D2D_1,\,D_2D1,D2没有公共内点，则f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在D1⋃D2D_1\bigcup D_2D1⋃D2上也可积，且
∬D1⋃D2f(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ.\iint\limits_{D_1\bigcup D_2}f(x,\,y)\,\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,\,y)\,\mathrm{d}\sigma+\iint\limits_{D_2}f(x,\,y)\,\mathrm{d}\sigma. D1⋃D2∬f(x,y)dσ=D1∬f(x,y)dσ+D2∬f(x,y)dσ.若f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在DDD上可积，且
m⩽f(x,y)⩽M,(x,y)∈D,m\leqslant f(x,\,y)\leqslant M,\quad(x,\,y)\in D, m⩽f(x,y)⩽M,(x,y)∈D,
则
mSD⩽∬Df(x,y)dσ⩽MSD,mS_D\leqslant\iint\limits_{D}f(x,\,y)\,\mathrm{d}\sigma\leqslant MS_D, mSD⩽D∬f(x,y)dσ⩽MSD,
这里SDS_DSD为积分区域DDD的面积；（中值定理）若f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在有界闭域DDD上连续，则存在(ξ,η)∈D(\xi,\,\eta)\in D(ξ,η)∈D，使得
∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)SD.\iint\limits_{D}f(x,\,y)\,\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\,\eta)S_D. D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)SD.
其几何意义是：以DDD为底，x=f(x,y)(f(x,y)⩾0)x=f(x,\,y)\ \big(f(x,\,y)\geqslant0\big)x=f(x,y) (f(x,y)⩾0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，此平顶柱体的高等于f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在区域DDD中某点(ξ,η)(\xi,\,\eta)(ξ,η)的函数值f(ξ,η)f(\xi,\,\eta)f(ξ,η).
Green公式
若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,\,y),\,Q(x,\,y)P(x,y),Q(x,y)在闭区域DDD上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
∬(∂Q∂x−∂P∂y)dσ=∮LPdx+Qdy,\iint\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}\sigma=\oint_LP\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y, ∬(∂x∂Q−∂y∂P)dσ=∮LPdx+Qdy,
这里LLL为区域DDD的边界曲线，并取正方向。
Green公式联系了第二型曲线积分与二重积分。
曲线积分与路线的无关性
设DDD为单连通区域，若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,\,y),\,Q(x,\,y)P(x,y),Q(x,y)在DDD内连续，且具有一阶连续偏导数，则下列的四个条件等价：
沿DDD内任一按段光滑封闭曲线LLL有：
∮LPdx+Qdy=0;\oint_LP\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0; ∮LPdx+Qdy=0;对DDD中任一按段光滑曲线LLL，曲线积分∫LPdx+Qdy\int_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y∫LPdx+Qdy与路线无关，只与LLL起始点的选取有关;
Pdx+QdyP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}yPdx+Qdy是DDD内某一函数u(x,y)u(x,\,y)u(x,y)的全微分，即在DDD内有du=Pdx+Qdy\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}ydu=Pdx+Qdy;
在DDD内处处成立
∂P∂y=∂Q∂x.\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}. ∂y∂P=∂x∂Q.
变量替换
直角坐标变换
用于一般的变量替换。
设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在有界闭域DDD上可积，变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)T:x=x(u,\,v),\,y=y(u,\,v)T:x=x(u,v),y=y(u,v)将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域Δ\DeltaΔ一对一地映成xyxyxy平面上的闭区域DDD，函数x(u,v),y(u,v)x(u,\,v),\,y(u,\,v)x(u,v),y(u,v)在Δ\DeltaΔ内分别具有一阶连续偏导数，且它们的函数行列式
J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣≠0,(u,v)∈Δ,J(u,\,v)=\frac{\partial (x,\,y)}{\partial (u,\,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \neq0,\quad(u,\,v)\in \Delta, J(u,v)=∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣∣∣∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y∣∣∣∣∣∣=0,(u,v)∈Δ,
则
∬Df(x,y)dxdy=∬Df(x(u,v),y(u,v))∣J(u,v)∣dudv.\iint\limits_{D}f(x,\,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}f\big(x(u,\,v),\,y(u,\,v)\big)\big|J(u,\,v)\big|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v. D∬f(x,y)dxdy=D∬f(x(u,v),y(u,v))∣∣J(u,v)∣∣dudv.
极坐标变换
常用于x2+y2x^2+y^2x2+y2类型出现在被积函数中的情况，利用极坐标变换可以更有效地化简积分。
设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在有界闭域DDD上可积，且在极坐标变换
T:{x=rcosθ,y=rsinθ,0⩽r<+∞,0⩽θ⩽2πT: \begin{cases} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, \end{cases} \quad 0\leqslant r<+\infty,\,0\leqslant\theta\leqslant2\pi T:{x=rcosθ,y=rsinθ,0⩽r<+∞,0⩽θ⩽2π
作用下，xyxyxy平面上有界区域DDD与rθr\thetarθ平面上区域Δ\DeltaΔ对应，则成立
∬Df(x,y)dxdy=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.\iint\limits_{D}f(x,\,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. D∬f(x,y)dxdy=D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.
广义极坐标变换
T:{x=arcosθ,y=brsinθ,0⩽r<+∞,0⩽θ⩽2πT: \begin{cases} x=ar\cos\theta,\\ y=br\sin\theta, \end{cases} \quad 0\leqslant r<+\infty,\,0\leqslant\theta\leqslant2\pi T:{x=arcosθ,y=brsinθ,0⩽r<+∞,0⩽θ⩽2π
则有J(r,θ)=abrJ(r,\,\theta)=abrJ(r,θ)=abr.
三重积分
引入
对密度函数进行积分，求一个空间立体的质量，就可导出三重积分。
化成累次积分
“先切条，后扎捆”：先对高积分，后对截面积分
若函数f(x,y,z)f(x,\,y,\,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,\,b]\times[c,\,d]\times[e,\,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈[a,b]×[c,d](x,\,y)\in[a,\,b]\times[c,\,d](x,y)∈[a,b]×[c,d]，g(x,y)=∫abf(x,y,z)dzg(x,\,y)=\int_a^bf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}zg(x,y)=∫abf(x,y,z)dz存在，则积分∬Dg(x,y)dxdy\iint\limits_Dg(x,\,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}yD∬g(x,y)dxdy也存在，且
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∬Ddxdy∫ehf(x,y,z)dz.\iiint\limits_Vf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_D\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_e^hf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}z. V∭f(x,y,z)dxdydz=D∬dxdy∫ehf(x,y,z)dz.
推论：
对于上下限可变的情形，可类似得到
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∬Ddxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz,\iiint\limits_Vf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_D\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{z_1(x,\,y)}^{z_2(x,\,y)}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}z, V∭f(x,y,z)dxdydz=D∬dxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz,
此时DDD为VVV在OxyOxyOxy平面上的投影。
“先切面，后叠加”：先对截面积分，后对高积分
若函数f(x,y,z)f(x,\,y,\,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,\,b]\times[c,\,d]\times[e,\,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x∈[a,b]x\in[a,\,b]x∈[a,b]，二重积分I(x)=∬Df(x,y,z)dydzI(x)=\iint\limits_Df(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}zI(x)=D∬f(x,y,z)dydz存在，其中D=[c,d]×[e,h]D=[c,\,d]\times[e,\,h]D=[c,d]×[e,h]，则积分∫abdx∬Df(x,y,z)dydz\int_a^b\,\mathrm{d}x\iint\limits_Df(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z∫abdxD∬f(x,y,z)dydz也存在，且
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∫abdx∬Df(x,y,z)dydz.\iiint\limits_Vf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_a^b\,\mathrm{d}x\iint\limits_Df(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z. V∭f(x,y,z)dxdydz=∫abdxD∬f(x,y,z)dydz.
推论(常用)：
若函数f(x,y,z)f(x,\,y,\,z)f(x,y,z)在长方体V⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]V\subset[a,\,b]\times[c,\,d]\times[e,\,h]V⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意固定的z∈[e,h]z\in[e,\,h]z∈[e,h]，积分φ(z)=∬Dzf(x,y,z)dydz\varphi(z)=\iint\limits_{D_z}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}zφ(z)=Dz∬f(x,y,z)dydz存在，其中DzD_zDz为截面{(x,y)∣(x,y,z)∈V}\big\{(x,\,y)\,\big|\,(x,\,y,\,z)\in V\big\}{(x,y)∣∣(x,y,z)∈V}，则积分∫ehφ(z)dz\int_e^h\varphi(z)\,\mathrm{d}z∫ehφ(z)dz存在，且
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∫ehφ(z)dz=∫ehdz∬Dzf(x,y,z)dxdy.\iiint\limits_Vf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_e^h\varphi(z)\,\mathrm{d}z=\int_e^h\,\mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. V∭f(x,y,z)dxdydz=∫ehφ(z)dz=∫ehdzDz∬f(x,y,z)dxdy.
变量替换
一般情况
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∭V′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J(u,v,w)∣dudvdw.\begin{aligned} &\iiint\limits_{V}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &=\iiint\limits_{V'}f\big(x(u,\,v,\,w),\,y(u,\,v,\,w),\,z(u,\,v,\,w)\big)\big|J(u,\,v,\,w)\big|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w.\end{aligned} V∭f(x,y,z)dxdydz=V′∭f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣∣J(u,v,w)∣∣dudvdw.
柱面坐标变换
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∭V′f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz.\iiint\limits_{V}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{V'}f(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z)r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z. V∭f(x,y,z)dxdydz=V′∭f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz.
球坐标变换
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∭V′f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ.\begin{aligned} &\iiint\limits_{V}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &=\iiint\limits_{V'}f(r\sin\varphi\cos\theta,\,r\sin\varphi\sin\theta,\,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta.\end{aligned} V∭f(x,y,z)dxdydz=V′∭f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ.
广义球坐标变换
∭Vf(x,y,z)dxdydz=∭V′f(arsinφcosθ,brsinφsinθ,crcosφ)abcr2sinφdrdφdθ.\begin{aligned} &\iiint\limits_{V}f(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &=\iiint\limits_{V'}f(ar\sin\varphi\cos\theta,\,br\sin\varphi\sin\theta,\,cr\cos\varphi)abcr^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta.\end{aligned} V∭f(x,y,z)dxdydz=V′∭f(arsinφcosθ,brsinφsinθ,crcosφ)abcr2sinφdrdφdθ.
曲面积分
第一型曲面积分
引入
可类比第一型曲线积分，不过此时质量分布在某一曲面块上而非曲线上。
计算
设有光滑曲面
S:z=z(x,y),(x,y)∈D,S:z=z(x,\,y),\ \ (x,\,y)\in D, S:z=z(x,y), (x,y)∈D,
f(x,y,z)f(x,\,y,\,z)f(x,y,z)为SSS上的连续函数，则
∬Sf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy.\iint\limits_Sf(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}S=\iint\limits_Df\big(x,\,y,\,z(x,\,y)\big)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2\,}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. S∬f(x,y,z)dS=D∬f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy.
第二型曲面积分
曲面的侧
通常由z=z(x,y)z=z(x,\,y)z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与zzz轴正向的夹脚成锐角的一侧（上侧）为正侧时，则另一侧（下侧）为负侧。当SSS为封闭曲面时，常规定曲面外侧为正侧，内侧为负侧。
引入
计算流体以以一定的流速从曲面负侧向正侧流动时产生的流量。
性质
- 线性性；
- 积分曲面的加性。
计算
设RRR是定义在光滑曲面S:z=z(x,y),(x,y∈Dxy)S:z=z(x,\,y),\ \ (x,\,y\in D_{xy})S:z=z(x,y), (x,y∈Dxy)上的连续函数，以SSS的上侧为正侧（这时SSS的法线方向与zzz轴正向成锐角），则有
∬SR(x,y,z)dS=∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy.\iint\limits_SR(x,\,y,\,z)\,\mathrm{d}S=\iint\limits_{D_{xy}}R\big(x,\,y,\,z(x,\,y)\big)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. S∬R(x,y,z)dS=Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy.
Gauss公式
建立沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的联系。
定理
设空间区域VVV由分片光滑的双侧封闭曲面SSS围成。若函数P,Q,RP,\,Q,\,RP,Q,R在VVV上连续，且有一阶连续偏导数，则
∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz=∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy,\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint\limits_SP\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y, V∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz=S∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,
其中SSS取外侧。
Stokes公式
建立沿空间双侧曲面的积分与沿其边界曲线的积分之间的联系。
右手法则
人沿着曲面边界前进，左手边为指定的一侧，正向；右手边为指定的一侧，负向。
定理
设光滑曲面SSS的边界LLL是按段光滑的连续曲线。若函数P,Q,RP,\,Q,\,RP,Q,R在SSS(连同LLL)上连续，且有一阶连续偏导数，则
∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy+Rdz,\begin{aligned} &\iint\limits_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z, \end{aligned} S∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮LPdx+Qdy+Rdz,
其中SSS的侧与LLL的方向按右手法则确定。
另一种形式
∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=∮LPdx+Qdy+Rdz,\iint\limits_S \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\\ P & Q & R \end{vmatrix} =\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z, S∬∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∮LPdx+Qdy+Rdz,
空间曲线积分与路线的无关性
设Ω⊂R3\varOmega\subset\mathbb{R^3}Ω⊂R3为空间单连通区域，若函数P,Q,RP,\,Q,\,RP,Q,R在Ω\varOmegaΩ上连续，且具有一阶连续偏导数，则下列的四个条件等价：
沿Ω\varOmegaΩ内任一按段光滑封闭曲线LLL有：
∮LPdx+Qdy+Rdz=0;\oint_LP\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z=0; ∮LPdx+Qdy+Rdz=0;对Ω\varOmegaΩ中任一按段光滑曲线LLL，曲线积分∫LPdx+Qdy+Rdz\int_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z∫LPdx+Qdy+Rdz与路线无关;
Pdx+Qdy+RdzP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}zPdx+Qdy+Rdz是Ω\varOmegaΩ内某一函数uuu的全微分，即在Ω\varOmegaΩ内有du=Pdx+Qdy+Rdz\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}zdu=Pdx+Qdy+Rdz;
在Ω\varOmegaΩ内处处成立
∂P∂y=∂Q∂x,∂Q∂z=∂R∂y,∂R∂x=∂P∂z.\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}. ∂y∂P=∂x∂Q,∂z∂Q=∂y∂R,∂x∂R=∂z∂P.
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