本文源自扬哥去年生日发的推送, 主要梳理曲线曲面积分与重积分的各种计算方法以及对应的一些联系, 题目多数来自每日一题与裴礼文, 还有部分为华师大课本例题.

计算题中, 对称性要放在战略的高度. 其次, 计算首先要充分掌握扬哥计算有一套之三角函数积分技巧:

1. 空间第二型曲线积分

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扬哥如果是出题人, 一定会考空间第二型曲线积分的计算, 原因是它几乎可以涉及到所有的曲线曲面积分与重积分方法. 今天, 扬哥就从空间第二型曲线积分开始, 为大家一一梳理曲线曲面积分与重积分之间的联系以及它们各自的计算方法.

1.1 参数法

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空间第二型曲线积分最基本的计算方法为参数法化为定积分, 这同平面上的曲线积分是一样的. 最为关键的是怎样得到曲线的参数方程, 来看一个难题:

上述这种用正交变换得到曲线参数方程的题目相对较少, 而对于一般的参数法题目, 大家应该了然于心.

1.2 斯托克斯公式

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学了斯托克斯公式以后, 我们知道空间第二型曲线积分还有另外一种极端重要的方法——转化为第二型曲面积分. 这时要求积分曲线是一条周线, 从而围成一个面, 这个面就是化为第二型曲面积分后的积分区域. 例题见之后的 2.3.

2. 第二型曲面积分

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首先我们知道第二型曲面积分是有方向的, 其含义是流过一个曲面的磁通量. 一般地, 我们规定:

这就是扬哥课程里面说的流水问题, 通常我们定义往"上"流为正, 往"下"流为负, 封闭曲面时, 往"外"流为正, 往"内"流为负.

2.1 化为二重积分

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第二型曲面最基本的方法是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候我们知道 x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零, 而关于 P(x,y,z)dzdx 的积分, 也变为了 P(c,y,z)dydz 的积分, 然后结合方向就可以化为二重积分. 同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦是如此. 我们看一个简单的例子:

2.2 对称性

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第二型曲面积分多了侧的考虑, 那么对称性就会更加麻烦一点. 这时候不仅要考虑在对称点处函数值的正负, 还要考虑对应的 dydz dzdx dxdy 的正负, 这需要多练习才能得心应手. 来看两个例子:

首先看裴礼文上关于第二型曲面积分的叙述和例题:

然后是每日一题上关于第二型曲面积分对称性的例题(这个题目也可以通过高斯公式解决):

2.3 化为第一型曲面积分

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第二型曲面积分可以化为第一型曲面积分, 这是极容易被忽视的重点. 首先看一个简单的例子:

在 1.2, 我们说空间第二型曲线积分可以通过斯托克斯化为第二型曲面积分, 此时的第二型曲面积分很多是化为第一型曲面积分更加方便直接, 甚至只有化为第一型曲面积分才能做出来. 那现在再看如下的第二型曲线积分的计算, 其过程实际是先化为第二型曲面积分, 然后又化为第一型曲面积分, 最后通过第一型曲面积分的找投影方法得到结果.

2.4 高斯公式

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第二型曲面积分另外一种极端重要的方法就是利用高斯公式化为三重积分, 这是所有同学都喜欢的方法, 但是也需要注意一些东西. 注意的东西可以从高斯公式的条件中看出来:

"封闭"不用说, 大家都知道补全问题. 另外"外侧"大家也基本能注意到方向问题. 而积分函数在积分区域体内(不是表面)"连续", 这就产生一类有暇点题. 具体如下:

普通的真题如下:

3. 第一型曲面积分

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3.1 对称性

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第一型曲面积分的对称性相对第二型来说, 没有了侧的问题, 而只需要考虑积分函数的对称性即可. 来看裴礼文上的讲解和例题:

接下来看扬哥每日一题上的例题:

3.2 化为二重积分

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第一型曲面积分最基本的计算方法就是同第二型曲面积分一样, 也是化为二重积分. 这时候注意公式:

对于 z=z(x,y) 的类型, 相对比较简单, 但是下面这个题目却不好算:

3.3. 化为第二型曲面积分

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上述说到两类曲面积分的联系, 第二型曲面积分化为第一型曲面积分是极为重要但又容易被忽视的计算方法. 但反过来, 也有一类题需要将第一型曲面积分化为第二型曲面积分, 这其实很明显. 来看下面的例题:

另外, 第一型曲面积分化为第二型曲面积分以后, 再结合高斯公式就有如下一类一瞪眼儿的问题:

4. 重积分

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重积分分为三重积分与二重积分, 它们的计算方法就是两种: 一种是化为累次积分, 一种是变量变换. 其中变量变换涉及到了雅克比行列式, 一定不能忘记. 二重积分的含义是曲顶柱体的体积, 而三重积分的含义是体积.

4.0 对称性

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关于重积分的对称性较为简单, 这里不再赘述.

4.1 化为累次积分

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二重积分化为累次积分是简单的, 来看课本上的两个例子:

对于三重积分化为累次积分, 其有 1+2 和 2+1 两种情况, 即对应的投影法与截面法.

具体用那种要视积分区域的形状和积分函数的性质来确定, 来看具体例子:

另外, 变量变换中的柱坐标变换其实就是三重积分化为累次积分的应用. 所以扬哥很少使用柱坐标变换, 遇到类似的问题直接化为累次积分进行解答. 一个简单的例子如下(注意旋转面方程一定要会写):

4.2 变量替换

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变量替换是重积分最重要的计算方法, 多数的题目都会化为三角函数的积分, 而三角函数的积分自然是用扬哥计算有一套轻松搞定.

首先看二重积分的变量变换问题:

4.2.1 普通变量变换

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4.2.2 极坐标变换

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极坐标是多数同学高中没有接触过的知识点, 所以难免有些生疏. 这里为了提高大家对极坐标的理解, 先分享关于二重积分通过极坐标变换化为累次积分的例子, 希望大家真的可以学会处理:

关于重积分的变量替换题目, 有一类涉及到了求体积问题, 我们放在之后的 4.3 进行讲解. 下面是极坐标的一个典型应用:

接下来我们看三重积分的变量变换:

4.2.3 普通变量变换

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先看定理:

两个简单的例子如下, 一瞪眼儿的事儿就不给大家找答案了.

4.2.4 球坐标变换

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关于三重积分的变量替换, 更常见的是用于求体积问题, 这我们单独拿出来介绍.

4.3 求体积问题

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关于求体积的问题, 按说是三重积分的问题, 但某些由于题目的特殊性, 我们直接将其化为了二重积分. 来看例题:

广义极坐标变换的雅克比行列式也要记住, 下面的例 6 也可以用广义球坐标替换.

千呼万唤始出来, 我们看三重积分的球坐标与广义球坐标替换:

关于球坐标替换, 需要掌握对应变量的具体含义, 我们拿一个好题来强调:

另外, 关于求体积问题, 每日一题上也有说到:

5. 第二型曲线积分

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曲线积分分为平面和空间的两类. 回应开头, 我们讲了空间第二型曲线积分的参数法与斯托克斯公式法.

5.1 参数法

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对于平面的第二型曲线积分, 依旧可以用参数法化为定积分. 这很简单, 举一个课本的例子吧!

5.2 对称性

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第二型曲线积分的对称性与第二型曲面积分类似, 在对称点处除了考虑积分函数的正负, 还要需要考虑对应点处 dx, dy, dz 的符号, 来看一个经典的例子:

5.3 化为第一型曲线积分

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这需要注意两类曲线积分的联系, 扬哥每日一题上是这样讲的:

5.3 格林公式

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对应斯托克斯公式, 平面上的第二型曲线积分可以利用格林公式化为二重积分, 这是非常重要的一类题, 其类似前面 2.4 高斯公式的应用:

同时, 对比 3.3, 利用两类曲线积分与格林公式, 还有如下一类显而易见的问题! 注意学习内积的处理手段.

5.4 曲线积分与路径无关

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曲线积分与路径无关的题目, 一定要用找出原函数的方法. 否则, 有可能题目会变得非常麻烦. 来看扬哥每日一题的阐述:

接下来是一个真题:

6. 第一型曲线积分

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6.1 化为定积分

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如果在学习定积分应用的时候掌握了弧长微分, 那第一型曲线积分的计算公式将变得显然:

6.2 对称性

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第一型曲线积分的对称性与第一型曲面积分类似, 这里只需要考虑被积函数的在对称点处的符号即可. 来看例子, 这是扬哥考研时的真题:

补充

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1. 要知道一个参数的方程为线, 两个参数的方程为面, 三个参数的方程为体. 同时注意 F=F(x,y) 与 F(x,y)=0 是完全不同的, 前者是两个变量, 而后者是一个变量, 比如 z=x+y 这是二元函数, 但是 x+y=0 却等价于 y=-x, 这是一元函数.

2. 举个例子: 曲线积分在 x^2+y^2=1 上积分, 那么被积函数只要出现 x^2+y^2, 就可以直接带入 1, 但对于二重积分, 一般都是在 x^2+y^2=1 的内部积分, 这时候其实是 x^2+y^2≤1, 做极坐标变换 x=rcos(θ), y=rsin(θ), 是关于 r, θ 的两个变量, 此时积分函数出现 x^2+y^2 的话, 应该是等于 r^2, 其中 r∈[0,1] 是需要进一步积分的. 同理, 曲面积分与重积分也有类似区别.

3. 关于曲线的切线, 曲面的切平面问题, 都可以用隐函数知识点搞定, 但是有一类一瞪眼儿出结果的问题需要大家额外注意. 这扬哥从平面几何的抛物线说起吧!

上述的结论也可以推广到立体几何中, 扬哥举两个例子:

由此结论, 可以搞定如下的这类题:

还有下面的这个真题:

4. 扬哥考南开时遇到的题目, 很多学校考研都考过类似的问题:

完全一样的方法, 请大家做下面的变型:

5. 综合性问题, 需要结合高代, 扬哥这样讲: