总体说一下

整个第二型没有直观的数学意义，具有的是“场”的物理意义，是“流入”和“流出”的问题，所以都是要考虑方向的。处理思路也多是把它们变换为一型情况处理。

积分	方法	意义/提示
平面第二型曲线积分	化为定积分	∮L→∫ab\oint_L \to \int_a^b∮L→∫ab
平面第二型曲线积分	格林公式	∮L→∬D\oint_L \to \iint_D∮L→∬D化为对平面区域的二重积分
空间第二型曲线积分	斯托克斯公式	∮L→∬∑\oint_L \to \iint_{\sum}∮L→∬∑化为第一型曲面积分
第二型曲面积分	化为二重积分	注意根据方向添加正负号
第二型曲面积分	高斯公式	∯∑→∭Ω\oiint_{\sum} \to \iiint_{\Omega}∬∑→∭Ω化为三重积分处理

记忆技巧：

平面曲线可以围出一个面，所以可以转化为平面区域的二重积分
空间第二型曲线积分想象一个吹泡泡的圆环
曲面可以围出一个体积，所以可以（高斯公式）化为三重积分处理

高斯公式：

∯∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv\oiint\limits_{\sum}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv∑∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv

第二型曲线积分

这个要对比这来看，第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，并且这是没有方向的（就是说你对弧AB从A到B和从B到A积分的结果是一样的）

对坐标的曲线积分最显著的特点就是有方向，实际应用比如说求某一个力，在某一个方向（如x轴）上所做的功。
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

对于这样一个式子，P(x,y)P(x,y)P(x,y)表示这一个力在运动过程中力的大小在x轴方向是如何变化的，类似地Q(x,y)Q(x,y)Q(x,y)表示这一个力在运动过程中力的大小在y轴方向是如何变化的

即，P(x,y)P(x,y)P(x,y)是xxx轴分量（如“水平分力”）而Q(x,y)Q(x,y)Q(x,y)是yyy轴分量（如“垂直分力”）。dxdxdx可以是水平位移，dydydy可以是垂直位移。

第二类曲面积分在数学上是抽象的，更多的是具有物理上的意义，这里涉及“场”的概念。

第一类曲线积分(被积函数是标量函数)
∫Lf(x,y)ds\int_L f(x,y)ds∫Lf(x,y)ds
第二类曲线积分
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
由于dy=f′(x)dxdy=f'(x)dxdy=f′(x)dx，上式亦可以写为
∫ab[Fy(x,y)∗f′(x)+Fx(x,y)]dx\int_a^b [F_y(x,y)*f'(x)+F_x(x,y)]dx∫ab[Fy(x,y)∗f′(x)+Fx(x,y)]dx
由于可以参数化表示，即x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)则有
∫αβ[Fy(x,y)∗y′(t)dt+Fx(x,y)∗x′(t)dt]\int_\alpha^\beta [F_y(x,y)*y'(t)dt+F_x(x,y)*x'(t)dt]∫αβ[Fy(x,y)∗y′(t)dt+Fx(x,y)∗x′(t)dt]

物理意义上的推导

分割：将有向弧AB分为若干微元，从A标这端记为M0M_0M0，B那段记为MnM_nMn，一共有n段。记第i段是Δi\Delta_iΔi
近似：每一小段上的做功为
ΔWi=F→(ξi,ηi)⋅Δi\Delta W_i= \overrightarrow F (\xi_i,\eta_i)·\Delta_iΔWi=F(ξi,ηi)⋅Δi

注意这里是向量的点乘，这意味着可以转化为
ΔWi=[P(ξi,ηi),Q(ξi,ηi)]⋅[Δxi,Δyi]\Delta W_i=[P(\xi_i,\eta_i),Q(\xi_i,\eta_i)]·[\Delta x_i,\Delta y_i]ΔWi=[P(ξi,ηi),Q(ξi,ηi)]⋅[Δxi,Δyi]
进一步地变为下式（三维空间同理）
ΔWi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi\Delta W_i=P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_iΔWi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi
求和：
W≈∑i=1nP(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)ΔyiW\approx \sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_iW≈i=1∑nP(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi
最终经过取极限变为
W=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dyW= \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dyW=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
这称之为P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)分别对坐标x,y的曲线积分

进一步地将 ∫LP(x,y)dx\int_L P(x,y)dx∫LP(x,y)dx称为P(x,y)P(x,y)P(x,y)在有向弧L上对x的曲线积分

两种计算方法

转化为定积分（基本方法）
格林公式

积分上下限是有顺序的，不可颠倒，必须是起点到终点

转化成定积分处理

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0x1P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x)\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{x_0}^{x_1}P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x) ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0x1P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x)

由于dy(x)=y′(x)dxdy(x)=y'(x)dxdy(x)=y′(x)dx则有
∫x0x1[P(x,y(x))+Q(x,y(x))⋅y′(x)]dx\int_{x_0}^{x_1}[P(x,y(x))+Q(x,y(x))·y'(x)]dx∫x0x1[P(x,y(x))+Q(x,y(x))⋅y′(x)]dx
从而将之转化为常见的定积分进行处理

同理地也可以转化为对y轴的定积分如下式
∫y0y1[P(x(y),y)x′(y)+Q(x(y),y)]dy\int_{y_0}^{y_1}[P(x(y),y)x'(y)+Q(x(y),y)]dy∫y0y1[P(x(y),y)x′(y)+Q(x(y),y)]dy

请注意，将所有yyy换成xxx意味着dydydy也要换成dxdxdx。类似地yyy换成x2x^2x2则意味着dydydy也要换成dx2dx^2dx2,。对所有xxx换成yyy亦然。

另外对于积分区域LLL是一条直线例如y=ay=ay=a的情况，此时dy=0dy = 0dy=0

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LP(x,a)dx\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,a)dx∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LP(x,a)dx
同理对于积分区域LLL是直线x=ax=ax=a的情况，此时dx=0dx = 0dx=0
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LQ(a,y)dy\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LQ(a,y)dy∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LQ(a,y)dy

对于参数方程下的第二类曲线积分
f(x)={x=x(t)y=y(t)t:t1→t2f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & x(t) \\ y & = & y(t) \\ \end{aligned} \right. \quad t:t_1 \to t_2 f(x)={xy==x(t)y(t)t:t1→t2
也可以这样处理为
∫t1t2[P(x(t),y(t))x′(t)+Q((x(t),y(t))y′(t)]dt\int_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q((x(t),y(t))y'(t)]dt∫t1t2[P(x(t),y(t))x′(t)+Q((x(t),y(t))y′(t)]dt

格林公式

封闭曲线，围出区域DDD
L取正向
函数P、Q具有一阶连续偏导数

什么叫LLL取正向啊？就是一个人沿着LLL走，左手始终在LLL围成的区域DDD内（即逆时针跑操场）

例题

例题1

例题2

∫L2xydx+x2dy\int_L 2xydx+x^2dy∫L2xydx+x2dy

在L1L_1L1情况下，由于y=x2y=x^2y=x2代入原式等于
∫012x⋅x2dx+x2dx2\int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2∫012x⋅x2dx+x2dx2
然后就是说对于x2dx2=x2⋅2xdxx^2dx^2=x^2·2xdxx2dx2=x2⋅2xdx，这是为什么呢，原因在于这是dx2dx=2x\frac{dx^2}{dx}=2xdxdx2=2x的移项，进一步地将之带入上式。
∫01(2x3+2x3)dx=4∫01x3dx=1\int_0^1 (2x^3+2x^3)dx=4\int_0^1x^3dx=1∫01(2x3+2x3)dx=4∫01x3dx=1

在L2L_2L2情况下，由于y=xy=\sqrt{x}y=x代入原式等于
∫012x⋅xdx+x2dx=∫01[2x32+12x32]dx=52∫01x32dx=1\int_0^1 2x·\sqrt{x}dx+x^2d\sqrt{x}=\int_0^1 [2x^{\frac32} +\frac12x^{\frac32}]dx=\frac52\int_0^1x^{\frac32}dx=1∫012x⋅xdx+x2dx=∫01[2x23+21x23]dx=25∫01x23dx=1

在L3L_3L3的情况下

这仨结果都一样，这说明啥？说明做功跟起点和终点的位置有关，跟走的路径无关。

∫012x⋅x2dx+x2dx2\int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2∫012x⋅x2dx+x2dx2因为对上式的两部分求偏导，不论是2xy2xy2xy还是x2x^2x2其结果都是2x2x2x。详见格林公式。

例3（空间曲线）

计算∫τx3dx+3zy2dy−x2ydz\int_\tau x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz∫τx3dx+3zy2dy−x2ydz其中τ\tauτ如下图

从A(3,2,1)A(3,2,1)A(3,2,1)到B(0,0,0)B(0,0,0)B(0,0,0)的两种路径

沿直线ABABAB
沿折线ACDBACDBACDB，其中C(3,2,0),D(3,0,0)C(3,2,0),D(3,0,0)C(3,2,0),D(3,0,0)

对于第一种情况，先转换出参数方程。可由下式移项得
x3=y2=z1=t\frac x3 =\frac y2 =\frac z1=t3x=2y=1z=t
然后就把x=3t,y=2t,z=tx=3t,y=2t,z=tx=3t,y=2t,z=t带入所求的积分式中
∫10(3t)3d3t+3⋅t⋅(2t)2d2t−(3t)2⋅2tdt\int_1^0 (3t)^3d3t+3·t·(2t)^2d2t-(3t)^2·2tdt∫10(3t)3d3t+3⋅t⋅(2t)2d2t−(3t)2⋅2tdt
其中在x=3x=3x=3时t=1t=1t=1，x=0x=0x=0时t=0t=0t=0，这也是积分的范围

进一步地
−∫0187t3dt=−874-\int_0^1 87t^3dt=-\frac{87}{4}−∫0187t3dt=−487

对于第二种情况则有

※例4（多种方法）

已知曲线LLL的方程为y=1−∣x∣(x∈[−1,1])y=1-|x|(x \in [-1,1])y=1−∣x∣(x∈[−1,1])，起点是(−1,0=)(-1,0=)(−1,0=)，终点是(1,0)(1,0)(1,0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=\int_Lxydx+x^2dy=∫Lxydx+x2dy=____

第一种方法（老老实实分段计算化为定积分即可）

方法2，利用性质（物理意义+奇偶性）

方法3，格林公式

参考

https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et
https://zhuanlan.zhihu.com/p/56393995
https://zhuanlan.zhihu.com/p/154247928
https://blog.csdn.net/libozhen9011/article/details/121958349
基础30讲

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