光滑曲线_对第一/二型曲线/曲面积分的小总结

公式

第一型曲线积分(Line Integrals)：

第二型曲线积分(Line Integrals of Vector Fields)：

第一型曲面积分(Surface Integrals)：

第二型曲面积分(Surface Integrals of Vector Fields)：

简单解释

曲线积分是在分段光滑的曲线（有限个光滑曲线的并集）上积分。
与第一型相比，第二型曲线积分的曲线有方向，要按着

（曲线方向的单位向量）的方向来积分（见第二型曲线积分公式的后者形式）。

第二型曲线积分，可以理解为将

分解投影到曲线前进方向的积分。

同样的，
曲面积分是在分段光滑的曲面（有限个光滑曲面的并集）上积分。
与第一型相比，第二型曲面积分的曲面有方向，要按着

（曲面方向的单位向量，也是曲面上某点对于曲面的法向量，与曲面保持垂直）的方向来积分（见第二型曲面积分公式的后者形式）。

第二型曲面积分，可以理解为将

分解投影到曲面方向的积分。

第一型与第二型的关系

从上一段的解释与公式可以看出：
在曲线积分中，如果第二型中的

的方向一直与

的方向平行，

的结果为

，同向取正，反向取负，则形式

与第一型相似。

同样的，
在曲面积分中，如果第二型中的

的方向一直与

的方向平行，则形式

与

第一型相似。

与一重定积分，二重积分的关系

一般来说，
求曲线积分，可以转化为一重定积分求解。（曲线积分中所有量至少可以用一个变量来表示）
求曲面积分，可以转化为二重积分求解。（曲面积分中所有量至少可以用两个变量来表示）

基本思想是直接转化或分解投影。

对于第一型曲线积分，一般是直接转化。
方法一是直接用题目给的曲线方程，把其他变量都用现成的一个变量表示，然后代入求解。
方法二是自己找个参数把曲线方程表示了，再代入求解。

第一型曲面积分也基本上是直接转化。方法跟第一型曲线积分相似，只是找的是两个变量。

对于第二型曲线积分，我们一般选择分解投影。
我们以二维平面上曲线举个栗子。
若曲线可以表示为：

并且

可以表示为：

（ P, Q为F在x轴、y轴上的分量，可以看作是F分解投影到x轴与y轴了）
则可以得到：

到这一步就可以计算出来了。

投影怎么理解呢？我们可以继续推导一下：

会发现第二型曲线积分，实际上可以分为两部分。
一部分是F的x轴分量在x轴的积分，另一部分是F的y轴分量在y轴的积分。
也就是说，我们可以把第二型曲线积分中的F分解投影到坐标轴（一根直线）上，分量分别与坐标轴的单位向量平行。由于第二型曲线积分中，我们会把变量（如上面的参数t）按照曲线前进方向来积分，那么曲线路线的表示

就可以也分解到坐标轴上，其(x(t))变化会按照曲线前进方向进行正负改变。

在三维等多维空间的曲线积分也是相似的。
如三维：

对于第二型曲面积分，最常用的应该是直接转化。
也就是用

，这个式子。

先求出n（注意方向）,然后dS按照第一型曲面积分的dS展开就好了。用的两个变量，可以是x, y, z三个中的两个，不好表示的话就自己找两个参数当变量。

有些时候，用分解投影会简化计算。
对三维空间的曲面进行积分，
若

可以表示为：

第二型曲面积分可以写成这种形式：

（推导过程这里就不写啦）

可以理解为，将F按照x, y, z轴的正方向分解，分成了三个部分。F在x轴方向上的分量P，与x轴单位向量平行，于是我们将曲面投影到yOz平面，可以看到该平面的方向单位向量正是x轴正/负方向的单位向量（上面的表达式中，方向向量的方向隐含在式子里，具体使用的时候才进行表示，方法为“一投二代三定号”,定号即为确定方向向量的方向）。所以，只需要把投影到yOz平面的面，像在曲面一样，把它们积分起来，就可以得到第一个部分：

剩下两个部分也是相似的。

曲线积分与曲面积分的转换

这里就只是简单讲一下个人的理解。

定理推导过程：

微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式） —> 格林 —> 斯托克斯与高斯

Fundamental Theorem of Calculus —> Green's Theorem —> Stokes' Theorem and the Divergence Theorem

牛顿-莱布尼兹公式确立了一重定积分转化为被积函数的反导函数的计算。

格林公式：

左边是二重积分，右边是第二型曲线积分。
与牛顿-莱布尼兹公式形式相似。可以粗略理解为左边积分了一次，于是到了右边，被积函数少了偏微分的形式，少了一个积分符号。

实际上，如果F是在三维空间中，左边的形式可以转化一下：

这就类似于第二型曲面积分第三部分的形式了。

因为格林公式讲的是二维空间中的闭合曲线，那放到三维空间，就是在xOy上的闭合曲线。闭合曲线可以围成一个曲面，曲面投影到xOz平面与yOz平面都是一条线，面积为0，所以积分为0，那么真正有效的部分就只有在xOy平面上的面的积分。从这个角度看，就可以知道格林公式是斯托克斯公式的一个雏形。

斯托克斯公式：

左边是第二型曲面积分，右边是第二型曲线积分。

高斯公式：

左边是第二型曲面积分（符号上应有闭环，在LaTex上暂没找到对应符号，故此处没显示闭环），右边是三重积分。

在二维平面上，有这样的形式：

注意，它的左边不是第二型曲线积分，n的方向与曲线前进的方向保持垂直。
右边是一个二重积分。

最近刚学完一/二型的曲线/面积分，就来写写这个小总结(*/ω＼*)

其实还有挺多细节都被我省略掉了，所以它只能算个粗略的总结(。﹏。)

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