MIT多变量微积分--8.多元函数，等值面，偏导数，切平面逼近

文章目录

1.多元函数
2.等值面
3.偏导数
- 偏导的几何意义

1.多元函数

若现在要让你画一个函数： z = f ( x , y ) = 1 − x 2 − y 2 z= f(x,y) = 1-x^2-y^2 z=f(x,y)=1−x2−y2
要如何画？

固定x=0，则: z = 1 − y 2 z=1-y^{2} z=1−y2，是一个开口向下的抛物线。
固定y=0，则: z = 1 − x 2 z=1-x^{2} z=1−x2，是一个开口向下的抛物线。
令z=0，可以得到 x 2 + y 2 = 1 x^{2}+y^{2}=1 x2+y2=1，所以，在xy平面上是一个单位圆。

经过上面三个步骤，相信已经对这个曲面有一个大致的了解了。

2.等值面

这个内容我们在初中地理上已经很熟悉了，只补充一点老师的看法

等值面就是拿不同的z值去水平地切这个曲面所得到的。

3.偏导数

上图是一个等值线的图，从图中我们可以发现：

若y值不变，增大x，则z值增大。
若y值不变，减小x，则z值减小。
对于x不变，y的变换也是类似。

我们如果想不只是定性的描述这些，而是像在一元函数里面那样，有类似导数的工具去研究，该怎么做呢？
因此我们引入偏导数（Partial derivative）

我们先来回顾一下，一元函数里面导数的定义，若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)
则 d y d x = lim ⁡ Δ → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} dxdy=Δ→0limΔxf(x+Δx)−f(x)

在 x = x 0 x=x_{0} x=x0处的导数： f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f\prime(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
于是有一阶逼近（咳咳，一阶逼近就是这么来的奥）： f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ′ ( x 0 ) f(x)\approx f(x_{0})+(x-x_{0})f\prime(x_{0}) f(x)≈f(x0)+(x−x0)f′(x0)

如果上式有更多的项，那便是泰勒展开了。

好，打住！现在我们来看看二元函数里面的情况

我们要怎么研究呢，因为我们可以改变x，也可以改变y，也可以同时改变两者，似乎有点麻烦。为此，我们引入偏导
定义如下： ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} ∂x∂f(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} ∂y∂f(x0,y0)=Δy→0limΔyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)

其实从偏导的英文可以看出，partial derivative里面的这个partial就可以窥见定义了！
并且这个定义也符合直觉，就如上面那个等值线的图，我们在看一个图的时候，如果想观察它的变化率，我们下意识地也会固定一个x或者y，去观察另一个变量的变化。

偏导的几何意义

这个也挺好理解，例如在（ x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0）对x的偏导：可以这么理解，在这一点处，做一个平行于xoz平面的平面，这个平面与 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)这个曲面交于一条曲线，这样，在这条曲线上的这点的切线便是在（ x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0）对x的偏导