MIT多变量微积分--4.平面方程，线性方程组

2024-05-15 17:55:57

1.平面方程

我们知道ax+by+cz=d类似这样的方程是平面方程，but，why?
例1：求一个平面方程，其法向量N为<1,5,7>,且平面过原点。

解：在平面上任意找一点P（x，y，z），设原点为O，则
O P → ⋅ N → = 0 \overrightarrow{OP} \cdot\overrightarrow{N}=0 OP ⋅N =0
即 x + 5 y + 7 z = 0 x+5y+7z=0 x+5y+7z=0

例2：求一个平面方程，其法向量N为<1,5,10>,且平面过 P 1 = ( 2 , 1 , − 1 ) P_{1}=(2,1,-1) P1=(2,1,−1)。

解：同样的，在平面上任意找一点P（x，y，z），则
P 1 P → ⋅ N → = 0 \overrightarrow{P_{1}P} \cdot\overrightarrow{N}=0 P1P ⋅N =0

即 < x − 2 , y − 1. z + 1 > ⋅ < 1 , 5 , 10 > = 0 <x-2,y-1.z+1>\cdot<1,5,10>=0 <x−2,y−1.z+1>⋅<1,5,10>=0
化简得到 x + 5 y + 10 z = − 3 x+5y+10z=-3 x+5y+10z=−3

通过上述两例，我想大家已经发现， a x + b y + c z = d ax+by+cz=d ax+by+cz=d中的a，b，c是平面的法向量，而d在平面过原点时为0，不过原点时为其他数值。

2.借助平面方程思考线性方程组（三维）的几何意义

其实，我们解3*3的方程组，就是找三个平面的交点。
{ x + 2 y + 3 z = 1 2 x + y + 2 z = 0 3 x + 3 y + 1 z = 2 \left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=1 \\ 2x+y+2z=0 \\ 3x+3y+1z=2 \end{array} \right. ⎩⎨⎧x+2y+3z=12x+y+2z=03x+3y+1z=2
假设前两个平面交于一条直线，那么第三个平面就有这么几种情况。

第三个平面与交线相交于一点 有一个解
第三个平面与交线平行无解
交线在第三个平面上 无数个解

不考虑这个假设，还有一种情况，就是三个平面如果是重合的，那么这个平面上的点都是解这种情况也是无数个解

这样来看，我们在上一个文章里面这样来解似乎有问题：
A X = B AX=B AX=B X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B
因为A的逆矩阵唯一，B唯一，那么X应该只有一个解。
那么，到底是哪里出了问题呢？

原因出在这个A的逆矩阵上面，

当A的行列式为0时，矩阵A没有逆矩阵

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