MIT多变量微积分--3.矩阵,逆矩阵
文章目录
- 1.叉积的应用
- 2.矩阵
- 3.如何理解矩阵与向量的乘法
- 4.单位矩阵与逆矩阵
1.叉积的应用
上一篇文章证明了det(A,B,C)=以A,B,C为临边的平行六面体的体积
若平面上有P1,P2,P3三点,试确定该平面的方程
答:1)在平面上随机取一点P(x,y,z)则有:
det(P1P2,P1P3,P1P)=0
由上式即可确定平面方程。
2)也可以P1P2×P1P3得到法向量,再用P1P·法向量=0也可以
算是殊途同归吧
2.矩阵
首先举一个例子哈,在x,y,z三维坐标系中有一个点的坐标是(x1,x2,x3),在变换了坐标系后,它的坐标变化为(u1,u2,u3),关系如下:
那么,这与矩阵有什么关系呢?我们可以用矩阵去表示这三个式子。
矩阵,用老师的话说就是:just a table with numbers in it 。
用矩阵表示为:AX=U
这里的A,X,U是什么应该不必多说。
3.如何理解矩阵与向量的乘法
上面的那个坐标变换是一个再好不过的例子了,它显示了,矩阵与向量相乘,就是将向量里面的各个元素进行了变换,得到U。
矩阵与矩阵的乘法主要是线性代数里面的内容,这里不细说。
老师这里的助记法不错
从线性代数角度来讲,AX=U中的A相当于一个线性系统(在之前的博客中有提到),在输入向量X之后,得到了输出向量U。还有一种解释是:向量U是矩阵A 中的列向量列空间里的一个线性组合.而,X中的各个值就是线性组合的系数,
那么要如何理解ABX=U呢?
这里推荐上述的第一种理解,先对X进行B的线性变换,再对变换后的结果进行A的线性变换
遵循结合律 如 (AB)X=A(BX)
举一个例子加深理解:
上图的这个矩阵R,表示将一个二维坐标逆时针旋转90°,那么RRX=R²X就是将X旋转180°,类似的RRRX就是将坐标旋转270°。RRRRX就是将坐标旋转360°。
4.单位矩阵与逆矩阵
单位矩阵I的定义是对角线上是1,其余元素是0,它左乘一个向量就好比数字1乘另一个数字一样,没有发生变化
关于逆矩阵,还记得上面的那张图,是用x来表示u。我们可能会这么想,我们既然知道了如何用x去表示u,那么如何用u去表示x呢?
这就引入了逆矩阵。我们或许可以去解上面那个方程,去消元,代换,去解出u分别用x表示的式子,我们也可以直接取求它的逆矩阵,
若A的逆矩阵为M,则有以下性质:
AM=I
MA=I
也就是说先进行M变换,再进行A变换,相当于没变。
类比一维的数 先乘以2,在乘以0.5,没变
有了上面的基础,我们就可以去求解AX=B这样的多元一次方程组。
上式左乘一个A的逆矩阵M,得到,
X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B
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