高数 | 【概念剖析】多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。
一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念
导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度，是一个变化的量。
我们知道在一元函数中，函数从一点到另一点的变化只有一个方向，就是沿着函数曲线移动就行了。而且函数在某一点处的切线也只有一条，因此函数的变化快慢只由这个切线（的斜率）决定。然而多元函数就不同了，多元函数往往是一个面，这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西，催生那么多概念。但是不要怕，其实多出的东西只是一元函数微分的拓展，本质都是一样的，不信请跟着笔者往下看，不难的，万变不离其宗。
我们来看图1。现在跟着笔者，咱们一起像数学家一样来思考（其实学会从数学家的角度来思考问题，往往最能达到理解知识的本质的目的）。
描述函数的变化，一个是描述函数的变化快慢，一个是描述函数变化多少。比如图1中，类似于一元函数的探讨，我想知道函数在A点变化的快慢趋势，以及从A点到B点变化的幅度是多少。另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题，就是函数可以固定一个变量，让另一个变量来变化，那么这又是与一元函数的十分不同的变化了，其实这是一个变化维度的问题。这些是数学家最兴趣的问题了。
好，到这里我们来总结下，我们想要全面的描述多元函数的变化，要考虑哪些方面呢，如下
（1）函数在A点的趋势变化。
（2）函数从A到B的变化的量。
（3）函数降维时候的变化，比如固定y，将二元函数看成一个一元函数来让x单独变化，又会产生什么变化。
明确了我们要解决的问题，其实就是怎么用数学工具来描述上面的那些变化，就要动手来解决问题了。那么根据一元函数微分学的经验，描述变化快慢，就得看导数，即切线的斜率。描述变化的多少，就得看微分了。因此我们动手在上面按照这个目的画了画，得到了图2和图3.如下所示。
从图2可以看到，过A点有无数条曲线，相应的也必定有无数条切线。因此切线的斜率必定不止一个。从图3可以看到从A到B有无数条路径可以到达。
那么摆在我们面前的问题就是，如何将一元函数的导数和微分的知识进行相应的拓展，来适应这些“无数”的问题？
这点问题肯定难不倒数学家。于是就产生了多元函数微分学的那些概念。
A点不是存在无数条切线吗？
那好办，这些切线的斜率都是导数，那么就定义一个方向导数来表示他们。
另外有无数条切线，就会有无个变化的方向，这里面哪个方向变化是最快的呢？
于是梯度的定义就来了。数学家说，把变化最快的那个方向定义为梯度，所以梯度其实是一个向量，表示的是在A点变化趋势最大的那个方向。
好了变化快慢的问题基本解决了。那么从A到B变化多少的问题怎么解决呢？
这就是全微分的定义了。把从A到B的变化的多少定义为全微分。
还剩下最后一个问题，就是如果函数降维度变化，比如固定了x，让y单独变化，这种变化怎么描述？
没关系，就把他们定义为偏导数。
好了，方向导数、梯度、全微分、偏导数的概念都已经出来了。
当然了，真实情况肯定是数学家们经过大量的论证，才决定把A点无数条切线的变化方向称之为“方向导数”更加合适，而不是称之为“偏导”，我在这里这样子讲，是做了事后的诸葛亮而已。具体各个概念的定义及公式，也是经过数学家们大量的论证和证明才得到，可看相关教材。
好了，废话好多。我们来总结下吧：
（1）方向导数：本质就是函数在A点无数个切线的斜率的定义。每一个切线都代表一个变化的方向。
（2）梯度：函数在A点无数个变化方向中变化最快的那个方向。
（3）全微分：函数从A点到B点变化的量（其实是取一个无穷小的变化的量）。
（4）偏导：多元函数降维时候的变化，比如二元函数固定y，只让x单独变化，从而看成是关于x的一元函数的变化来研究。
再经过一番论证加证明得到了教材上关于他们的严格的数学表达式，从此数学家们拿着这套表达式开始在微分几何的领域叱咤风云了！！
讲到这里，我们来回顾下，我们是怎么打通理解这些知识点的，其实就是把自己想象成一位数学家，想象成自己要解决这些问题，应该怎么办，然后结合已有的知识仔细琢磨，从而得到知识的本质理解。这就是思维是如何产生的过程。如果说的官方点，其实就是探寻那些概念的几何意义。
二、相关概念的定义及公式回顾
为了加深理解，笔者干脆用白话把这些概念写在这里供大家结合理解。
2.1 偏导
上面讲了，偏导其实就是多元函数的降维下的导数。那么就非常简单了，比如二元函数关于x的偏导，只需要模仿一元函数导数的定义即可。这里把y看成常量。如下：
同理，大家可以得出f关于y的偏导。
2.2 方向导数
比如二元函数f在A点沿一个方向L变化，这条切线L由点A和切线L上另外一点B所确定。其中A（x1,y1），B（x2,y2）。那么怎么求f沿L的方向导数呢？经过数学家们的论证，有如下公式：
方向导数的计算公式 证明 ：
2.3 梯度
数学家们经过证明，发现函数只要每一个变量都沿着关于这个变量的偏导所指定的方向来变化，函数的整体变化就能达到最快（变化的绝对值最大）。因此函数在A处的梯度为（以三元函数为代表）：
2.4 全微分
全微分的定义书上有严格的数学语言。这里我就用大白话说简单点。数学家们发现，其实跟一元函数差不多，多元函数从A到B的变化可以用一个线性变化来进行逼近，毕竟非线性的东西太复杂了。只要取的变化区间无穷小，总能找到一个多元的线性函数对这种变化的量进行逼近，而且线性函数的系数不受从A到B的路径选择的影响，只跟变化的量有关。于是把这个线性函数定义为全微分。之所以称之为全微分，是针对偏微分而言的，偏微分这里不提，有兴趣可以查查。而且数学家还证明了，系数其实就是偏导。
那么比如二元函数的全微分就是 。
在此提一句，别总是纠结 和dx的区别，你可以简单理解为 取到无穷小就是dx。
2.5 切平面
在这里再啰嗦一句。其实大家可以顺着想一想什么是切平面。前面说过A点存在无数条切线，这些切线肯定在同一个平面中，这个面就是在A点的切平面。是不是就很好理解了。
三、再啰嗦两句
切记，导数和微分的本质含义。
导数，即描述函数在一点处的变化快慢的趋势。
微分，即描述函数在一点处发生一个无穷小区间的变化的量的线性逼近。
相信通过这篇文章，大家对偏导、方向导数、梯度、以及全微分他们之间的区别和联系理解的更加透彻了。
哦，对了，差点把全导数给忘记了。其实全导数本质上就是一元函数的导数。
他是针对复合函数而言的定义。比如z=f(x,y)，x=u(t)，y=v(t)。那么z关于t的导数就是全导数。所以我说本质上就是个一元函数的导数，z本质上就是个一元函数。因此全导数没什么好说的。
摘录于
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考 - 知乎
高数 | 【概念剖析】多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系相关推荐
- 二元函数偏导数公式_多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考...
本篇文章,探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系.包括全微分.偏导数.方向导数.梯度.全导数等内容. 初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得 ...
- 二元函数泰勒公式例题_高数 | 8.12 多元函数微分学重难点补充【2020版】
写在前面:本学期开始所有视频均已进行降噪处理,但是在录制的时候由于设备原因,有一些回声,请大家谅解~TAT~同时,由于微信公众号后台消息保存时间有限,大家如果有疑问,可以关注B站账号:兆筱小分队,在B ...
- 专升本高数——第八章 多元函数积分学【学习笔记】
参考相关公式请进入:专升本高数--常用公式总结大全[补充扩展] https://blog.csdn.net/liu17234050/article/details/104439092 全部知识点请进入 ...
- 高数培训3:多元函数微分
预备知识 多元函数的极限 预备知识 例题 三角换元(承接第一.第二重要极限) 多元函数的偏导数 预备知识 多元函数的微分 预备知识 例题 基本不等式: a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2+b^ ...
- 高数补课：导数、偏导数、方向导数、梯度
一篇经典博客: http://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 1.导数定义: 导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量的 ...
- 【高数-2】多元函数最值
最值要么等于极值点要么等于边界值点,极值点使用无约束求极值,边界值有的带入有的使用拉格朗日极值法
- 全微分/偏导数/方向导数/梯度/全导数
1.偏导数 参考 :导数.偏导数.方向导数 就是对某一变量求导,把其他变量作为常数 2.方向导数 可以认为偏导数是特殊的方向导数,是在自变量方向上的方向导数. 任意方向导数为: 3.梯度 参考: 导数 ...
- 2560x1600分辨率高吗_做设计还弄不清分辨率和像素之间的关系，来了解下他们是怎么换算...
许多同学都在问我关于像素的问题,为什么印刷时要300分辨率以上?网页为什么72就够了?做户外喷绘30,甚至巨幅画面20就上了.关于这些还是很多人不知道的,要不也不会被卖手机的忽悠,各大手机推销员拿着手 ...
- CN_计算机网络体系结构概念@IP数据报(分组)结构@各层报文(PDU)之间的关系@PDU协议数据单元
文章目录 计算机网络的组成 组成部分角度 工作方式角度 功能组成 计算机网络数据单元基本联系 基本概念 实体 对等层 对等实体 协议@接口@服务 协议 接口 服务访问点SAP 服务 服务原语 报文(协 ...
最新文章
- dd命令测试linux磁盘io情况,【LINUX】正确的使用dd进行磁盘读写速度测试
- 描述最常用的5种http方法的用途_对不起，来晚了，这可能是设计模式讲的最通俗易懂的文章（收藏）
- linux上的ftp怎么设置编码格式,linux ftp客户端的编码问题
- linux echo命令
- div+css+js 树形菜单
- iris数据集 测试集_IRIS数据集的探索性数据分析
- 一号团队-团队任务3:每日立会（2018-12-01）
- 秋招注意事项和面试通关攻略
- EFCore-一对一配置外键小记
- 强化学习 ---baseline项目之 TensorFlow的训练参数的存储和加载
- 大数据平台搭建包含哪些层级
- 遗落在时光里的静态链表（线性表的静态存储）---C语言版
- node2vec: 图数据的嵌入方法
- lambda表达式(Shawn)，android物联网开发配套代码
- 【开源】STC单片机免冷启动自动下载器
- 记几次被恶意挖矿程序占满linux服务器cpu的经历
- 计算机毕业设计Java印染公司信息管理系统(系统+程序+mysql数据库+Lw文档）
- JavaWeb(kuang)
- python 斗地主（1）
- 「2022」字节-前端（互娱）笔试题