多变量微积分01-09
多变量微积分01
- 1. 点积
- 2. 行列式、叉积
- 3. 矩阵、逆矩阵
- 4. 平面方程
- 5. 直线、曲线参数方程
- 6. 速度、加速度
- 7. 复习
- 8. 等值面、偏导数、切平面
- 9. 极大极小问题，最小二乘法
- 附录 matlab 代码
- 附录1. 平面图 ：
- 附录2. 参数方程
- 附录3. 曲面
- 附录4. 最小二乘法
1. 点积
从向量角度理解长度、夹角，面积，体积
点积包含了向量长度和夹角的信息
应用：求向量长度和夹角、判断正交、求向量在某方向的分量
a⃗⋅b⃗=∑aibi=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cosθ\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i = ||\vec{a}||||\vec{b}|| \cos \thetaa⋅b=∑aibi=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ
2. 行列式、叉积
行列式、叉积：从向量角度理解面积，体积，表面积(多个叉积)
向量：分为平面向量，空间向量等，平面向量行列式的几何意义等于面积，空间向量的行列式等于平行六面体的体积；叉积适用于空间中的两个向量，其几何意义为-叉积的长度等于两向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于平行四边形所在的平面(右手法则)。计算面积、体积、表面积的方式很多，本质上来说，行列式、叉积是唯一的计算方法
行列式应用：找空间中的平面方程，求面积、体积
叉积应用：找空间中的平面方程，求面积、表面积
A×B=∥i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∥A \times B = \begin{Vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix} A×B=∥∥∥∥∥∥ia1b1ja2b2ka3b3∥∥∥∥∥∥
3. 矩阵、逆矩阵
矩阵、逆矩阵主要用来解线性方程组
4. 平面方程
平面方程：
ax+by+cz=dax+by+cz=dax+by+cz=d
a、b、c给出了平面的法向量
5. 直线、曲线参数方程
点随时间的运动轨迹称为参数方程
平面或空间中的两点可以确定一条直线
摆线(天体运动就类似于摆线)：
6. 速度、加速度
从向量角度分析速度、加速度：向量同时携带速率和方向，对一个向量求导，就是对它的每个分量求导
v⃗=dr⃗dta⃗=dv⃗dt\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \qquad \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}v=dtdra=dtdv
7. 复习
8. 等值面、偏导数、切平面
偏导数、梯度、向量等工具，适用于任意多个变量的函数
含两个变量的函数图像化：它是空间中的一个曲面，例如
f(x,y)=z=1−x2−y2f(x,y)=z=1-x^2-y^2f(x,y)=z=1−x2−y2
等值面：等高线图又称等值面；在等高线图上移动，可以很容易得出函数值是变大还是变小，变化率(变化的速度)为函数的导数
偏导数：函数有多个变量时，求其中某一个变量的导数，就称为偏导数，“偏”为“partial”的意思，因此一个多变量的函数没有通常的导数，它只有关于每个变量的偏导数，例如
∂f∂x(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx=fx\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}=f_x∂x∂f(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)=fx
计算偏导数，通常不需要通过定义来求，而是将其它变量设为常量，然后求单变量导数
9. 极大极小问题，最小二乘法
同时改变两个变量，变化的效果就是两个各自的效果叠加
z=f(x,y)Δz≈fxΔx+fyΔyz=f(x,y) \qquad \Delta z \approx f_x \Delta x + f_y \Delta yz=f(x,y)Δz≈fxΔx+fyΔy
两个点或者斜率一个点可以确定一个直线：
P1P0⃗=t∗PxP0⃗\vec{P_1P_0}=t*\vec{P_xP_0} P1P0=t∗PxP0 L={z=z0+zx(x−x0)y=y0L=\begin{cases} z=z_0+z_x(x-x_0) \\ y=y_0 \end{cases} L={z=z0+zx(x−x0)y=y0
两个直线确定一个平面：
z=z0+zx(x−x0)+zy(y−y0)z=z_0+z_x(x-x_0)+z_y(y-y_0) z=z0+zx(x−x0)+zy(y−y0)
切平面
最优化问题，需要用到偏导数，偏导数都为0的点，称为驻点；既不是极大值也不是极小值的点叫鞍点；临界点可能是局部极大值、局部极小值或者鞍点，二阶偏导数可以区分这三种点
极值的应用：最小二乘法。最佳拟合问题，实际上就是一个极小值问题；拟合又分为直线拟合、指数拟合、曲线拟合等，不同形式的函数对应不同的拟合方式；计算误差的方法有多种，例如点到直线的垂直距离，真实值与预测值的差等，当单位不同时，一般使用第二种方法–真实值与预测值的差，即最小二乘法least squares，例如直线拟合：
y=ax+bD(a,b)=∑i=1n(yi−(axi+b))2y=ax+b \\ D(a,b)=\sum_{i=1}^n(y_i-(ax_i+b))^2 y=ax+bD(a,b)=i=1∑n(yi−(axi+b))2 此时，a、b为未知数，x_i和y_i为已知数据，最佳拟合意味着D函数最小，即
∂D∂a=0and ∂D∂b=0{∑i=1nxi2a+∑i=1nxib=∑i=1nxiyi∑i=1nxia+nb=∑i=1nyi\frac{\partial D}{\partial a}=0 \text{ and } \frac{\partial D}{\partial b}=0 \\ \begin{cases} \sum_{i=1}^n x_i^2 a + \sum_{i=1}^n x_i b = \sum_{i=1}^n x_i y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i a + nb = \sum_{i=1}^n y_i \end{cases} ∂a∂D=0 and ∂b∂D=0{∑i=1nxi2a+∑i=1nxib=∑i=1nxiyi∑i=1nxia+nb=∑i=1nyi 解方程组后即可得出a、b的值，从而确定拟合直线
附录 matlab 代码
附录1. 平面图 ：
% 画一个平面clear;clc;clf;syms x,syms y,syms z;z=-x-y;[XG,YG] = meshgrid(-2:2);ZG = XG.*(-1)+YG.*(-1)-0;surf(XG,YG,ZG);
% mesh(XG,YG,ZG);hold on;quiver3(0,0,0,1,1,1);axis equal;
附录2. 参数方程
% 参数方程-摆线clear;clc;clf;syms r theta;x=r*theta-r*sin(theta);y=r-r*cos(theta);xr=subs(x,r,2);yr=subs(y,r,2);T=0:0.1:4*pi;XA=subs(xr,theta,T);YA=subs(yr,theta,T);plot(XA,YA);
附录3. 曲面
% 曲面 z=x^2-y^2clear,clc,clf;[XA,YA]=meshgrid(-2:0.1:2);ZA=XA.^2-YA.^2;mesh(XA,YA,ZA);axis vis3d;% (1,1)点的x偏导数hold on;[XA_2,ZA_2]=meshgrid(-2:0.1:2);YA_2=1+XA_2.*0;mesh(XA_2,YA_2,ZA_2);% 切线1XA_22=-2:0.1:2;ZA_22=XA_22.*2-2;YA_22=repelem(1,41);%repelem、repmat、cross、dotplot3(XA_22,YA_22,ZA_22,'r.');% (1,1)点的y偏导数[YA_3,ZA_3]=meshgrid(-2:0.1:2);XA_3=1+YA_3.*0;mesh(XA_3,YA_3,ZA_3);% 切线2YA_33=-2:0.1:2;ZA_33=YA_33.*(-2)+2;XA_33=repelem(1,41);plot3(XA_33,YA_33,ZA_33,'b.');% 切面[XA_4,YA_4]=meshgrid(-2:0.1:2);ZA_4=XA_4.*2+YA_4.*(-2);mesh(XA_4,YA_4,ZA_4);% 等高线% contour(XA,YA,ZA);% axis equal
附录4. 最小二乘法
% 曲线拟合，使用最小二乘法clear;clf;clc;hold on;% 假设一些数据点XA=1:9;YA=[1 2 6 7 9 12 13 15 20];plot(XA,YA,'ro');A=randn(2);A(1,1)=sum(XA.^2);A(1,2)=sum(XA);A(2,1)=sum(XA);A(2,2)=size(XA,2);B=randn(2,1);B(1,1)=sum(XA.*YA);B(2,1)=sum(YA);X=A\B; %X=inv(A)*B;YA_2=X(1,1).*XA+X(2,1);plot(XA,YA_2);
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