文章目录

3. 多重积分——二重积分（Double Integrals）
- 3.1 直角坐标系下二重积分
- - 二重积分的定义
  - 如何选择积分上下限
- 3.2 极坐标下的二重积分
- - 微元及二重积分表达式
  - 如何选择积分上下限
- 3.3 二重积分中的换元方法
- - 直角坐标系与极坐标之间的转化
  - Jacobian行列式
- 3.4 标量函数中二重积分的应用
- - 质量
  - 均值和质心
  - 二维平面内的转动惯量
- 3.5 矢量场及矢量场中的积分
- - 矢量场回顾
  - - 梯度场和势场——矢量场和标量场的转化
    - 常见的矢量场
  - 矢量场中的积分1——线积分（Line Integrals）
  - - A. 功（Work）
    - - 线积分一般表达形式
      - 梯度场与线积分基本定理
      - 什么是梯度场
        
        线积分基本定理
        
        梯度场的等价性质
        
        如何检验一平面向量场是梯度场
        
        由梯度场推导势场
    - B. 格林定理（Green's Theorem）
    - - B.1 二维平面中的旋度
      - B.2 二维平面中的通量与散度
      - I. 2D 通量
        
        II. 2D 散度
      - B.3 格林定理（Green Theorem）——功（线积分）与旋度
      - I. 定理内容
        
        II. 证明思路
        
        III. 旋度的简单物理解释
      - B.4 格林定理法向形式（Green Theorem in normal form）——通量（Flux）与散度
      - I. 定理内容
        
        II.简单证明
        
        III.散度的简单物理解释
- 3.6 二维平面下格林定理总结

本博客对应我博客中的多变量微积分目录下的第三章，二重积分。

3. 多重积分——二重积分（Double Integrals）

上一章讲到多元函数的微分及其应用，这一章是关于多重积分里的二重积分，虽然只是限定在了平面范围内，但是非常非常重要。

3.1 直角坐标系下二重积分

二重积分的定义

现有一积分区域RRR和某函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)，将该区域切割成nnn块小面积，其中第iii块的面积为ΔAi\Delta A_iΔAi，并且在该区域内选择一个点(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)，那么有限项和
∑inf(xi,yi)ΔAi\sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i∑inf(xi,yi)ΔAi在面积元接近无穷小时的极限被定义为二重积分（参考下图），即：
∬Rf(x,y)dA=lim⁡ΔAi→0∑inf(xi,yi)ΔAi\iint_Rf(x,y)dA=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i∬Rf(x,y)dA=ΔAi→0limi∑nf(xi,yi)ΔAi
可以发现，如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)是某一物体的高度函数，二重积分可以用来求该物体的体积；当f(x,y)=1f(x,y)=1f(x,y)=1时，二重积分 ∬RdA\iint_R dA∬RdA 求的是积分区域的面积。(常见的二重积分应用会在3.4节中提到)

如何选择积分上下限

在多重积分当中，最重要的就是明确积分的上下限，通常情况下需要先画出所求区域的草图。
一般步骤

写出完整的二重积分表达式
∬Rf(x,y)dydxor∬Rf(x,y)dxdy\iint_Rf(x,y)dydx\quad or\quad\iint_Rf(x,y)dxdy∬Rf(x,y)dydxor∬Rf(x,y)dxdy
根据内部积分的顺序，选择固定的轴，xxx或yyy，作垂直于所选轴的垂线，如果固定的是xxx轴，那么积分上下限一般表达式为y1=g1(x),y2=g2(x)y_1=g_1(x),\ y_2=g_2(x)y1=g1(x), y2=g2(x)，选择yyy轴的情况同理。
如果第二步中固定的是xxx轴，将xxx当成常数对变量yyy积分（步骤与单变量几分钟的步骤完全一样）
对外层变量 xxx 积分

举例如下图：求曲线x+y=1x+y=1x+y=1与x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1在第一象限所围成的面积，可以看出，例子中选择的是先固定变量xxx。

3.2 极坐标下的二重积分

在单变量微积分中我们已经学过了极坐标和直角坐标系的转换，即x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\thetax=rcosθ, y=rsinθ。当所求积分区域为圆或圆的衍生图形的时候常用极坐标。

微元及二重积分表达式

微元表达式
如下图，将二维区域RRR按极坐标的模式切割成不同小块，每一个小块的面积表达式为ΔA=rΔθ⋅Δr\Delta A=r_\Delta\theta\cdot \Delta rΔA=rΔθ⋅Δr，转化成微元形式就是 dA=rdrdθdA=rdrd\thetadA=rdrdθ，可以看出，极坐标下的面积元与矩形面积公式相似，因为在面积无穷小的时候弧长会近似成直线。

二重积分表达式
极坐标下的二重积分形式为：
∬Rf(r,θ)rdrdθ=lim⁡ΔAi→0∑inf(ri,θi)ΔAi\iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(r_i,\theta_i)\Delta A_i∬Rf(r,θ)rdrdθ=ΔAi→0limi∑nf(ri,θi)ΔAi

如何选择积分上下限

与直角坐标系中选择积分上下限类似，一般在极坐标中先固定角度θ\thetaθ。
一般步骤：

写出完整的二重积分表达式：
∬Rf(r,θ)rdrdθ\iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta∬Rf(r,θ)rdrdθ
固定角度θ\thetaθ，作过原点的一条直线，找到内部积分上下限的一般表达式，r1=g1(θ),r2=g2(θ)r_1=g_1(\theta),\ r_2=g_2(\theta)r1=g1(θ), r2=g2(θ)，之后求出内部积分表达式。
找到变量θ\thetaθ的上下限并对外层变量 θ\thetaθ 积分

3.3 二重积分中的换元方法

直角坐标系与极坐标之间的转化

根据所选积分区域的形状选择不同的坐标系会有不同的效果，起到简化计算的作用。首先是最常见的直角坐标与极坐标的转化。
∬Rf(x,y)dydx=∬Rf(r,θ)rdrdθ\iint_R f(x,y)dydx=\iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta∬Rf(x,y)dydx=∬Rf(r,θ)rdrdθ
其中各个变量的对应关系是x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r=x2+y2,θ=tan−1yxx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=tan^{-1}\frac{y}{x}x=rcosθ, y=rsinθ, r=x2+y2, θ=tan−1xy

Jacobian行列式

Jacobian行列式是变量变换的一般形式，这一节只有表达形式，我觉得这个行列式非常美妙，所以具体的证明过程等我之后再补上！本节只考虑Jacobian的二维形式，其定义式为：
∂(x,y)∂(u,v)=∣xuxvyuyv∣\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣
一般化的变量转化为:
dA=∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudvdA=\big|\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\big|dudvdA=∣∣∂(u,v)∂(x,y)∣∣dudv
直角坐标到极坐标的转化也可以通过Jacobian计算出来。

3.4 标量函数中二重积分的应用

在标量函数中，二重积分有许多应用：在不考虑厚度的情况下，已知密度求物体的质量；；求物体质心的位置；求物体的转动惯量。

质量

已知物体的密度δ(x,y)\delta(x,y)δ(x,y)在某一区域 RRR 内是连续的，则质量为：
Mass=∬Rδ(x,y)dydx\text{Mass}=\iint_R\delta(x,y)dydxMass=∬Rδ(x,y)dydx

均值和质心

在单变量微积分中，积分的一个应用是求均值和加权平均值。同样地，二重积分也可以用来求均值，一般表达式为：
Average=1area R∬Rf(x,y)dA\text{Average}=\frac{1}{\text{area} \ R}\iint_Rf(x,y)dAAverage=area R1∬Rf(x,y)dA
当f(x,y)=xf(x,y)=xf(x,y)=x或f(x,y)=yf(x,y)=yf(x,y)=y时就是求一个物体的质心位置。假设密度依然为δ(x,y)\delta(x,y)δ(x,y)，则质心（Center of Mass）表达式为：
xcm=∬Rxδ(x,y)dAx_{cm}=\iint_Rx\delta(x,y)dAxcm=∬Rxδ(x,y)dAycm=∬Ryδ(x,y)dAy_{cm}=\iint_Ry\delta(x,y)dAycm=∬Ryδ(x,y)dA

二维平面内的转动惯量

转动惯量相当于旋转刚体的质量（写到这突然觉得今晚上得复习一下经典力学中的旋转刚体了，力矩等概念已经记不得了），对于对称的物体而言，I=md2I=md^2I=md2。mmm是物体的质量（不规则的物体需要用积分的方法求解），ddd是物体到转轴的距离。如果密度为δ(x,y)\delta(x,y)δ(x,y)的物体绕yyy轴旋转，其转动惯量就可以写成：
I=∬x2δ(x,y)dAI=\iint x^2\delta(x,y)dAI=∬x2δ(x,y)dA

3.5 矢量场及矢量场中的积分

矢量场回顾

在笔记第二章最后中已经介绍了什么是矢量场和标量场，由于这一章关注的是二维平面，所以矢量场就特指平面向量场，其表达式为F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j\bold F(x,y)=M(x,y)\bold i+N(x,y) \bold jF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j如果函数M,NM,\ NM, N是可微的，则向量场可微。

梯度场和势场——矢量场和标量场的转化

如果某一个二维标量函数w=f(x,y)w=f(x,y)w=f(x,y)是连续可导的，则它的梯度场可以表示为∇w=∂w∂xi+∂w∂yj\nabla w=\frac{\partial w}{\partial x}\bold i+\frac{\partial w}{\partial y}\bold j∇w=∂x∂wi+∂y∂wj

（请牢记梯度的性质，梯度垂直于等值面的切线）

如果一个向量场是某个势函数的梯度，则这个向量场就被称为梯度场。梯度场是保守场，即做功与路径无关。（常见的梯度场有电场，重力场等）做工只与起始和终止点有关。下文也会详细阐述关于保守场的几个等价命题

常见的矢量场

矢量场广泛应用于物理学中，描述力场，比如静电力场，重力场；或者是描述流体，比如不可压缩的水流和可压缩的气体的流速（单位时间内经过的量等）。

矢量场中的积分1——线积分（Line Integrals）

当平面内有一力场时，线积分表达的物理意义就是力做功的多少。

A. 功（Work）

在物理学中，功是计算力在位移上的分量和位移的乘积而得到的，也就是力和位移的点乘。

线积分一般表达形式

平面内有一矢量场（一般是与力有关）F=Mi+Nj=<M,N>\bold F=M\bold i+N\bold j=<M,N>F=Mi+Nj=<M,N>（省略掉自变量以保证公式的简洁），平面内还有一曲线 C：r(t)=x(t)i+y(t)j=<x(t),y(t)>C：\bold r(t)=x(t)\bold i+y(t)\bold j=<x(t),y(t)>C：r(t)=x(t)i+y(t)j=<x(t),y(t)>，其微分形式dr=<dx,dy>d\bold r=<dx,dy>dr=<dx,dy>，由此可以推出线积分的表达形式及其分量表达形式：
∫CF⋅dr=∫C<M,N>⋅<dx,dy>=∫CMdx+Ndy\int_C\bold F\cdot d\bold r=\int_C<M,N>\cdot <dx,dy>=\int_CMdx+Ndy∫CF⋅dr=∫C<M,N>⋅<dx,dy>=∫CMdx+Ndy

梯度场与线积分基本定理

前文中提到了梯度场和势函数的关系，这一节将进一步阐明梯度场的性质及如何通过梯度场反推势函数。

什么是梯度场

如果一个向量场满足F=∇f=<fx,fy>\bold F=\nabla f=<f_x,f_y>F=∇f=<fx,fy>或者是F=−∇f\bold F=-\nabla fF=−∇f，那么它就被称为梯度场。注意，物理中一般加负号（比如电场与电势的关系E=−∇V\bold E=-\nabla VE=−∇V），数学中一般不加。

线积分基本定理

∫C∇f⋅dr=f(P1)−f(P0)\int_C\nabla f\cdot d\bold r=f(P_1)-f(P_0)∫C∇f⋅dr=f(P1)−f(P0)
其中P1,P0P_1,\ P_0P1, P0代表一段曲线的终止点和起始点。对该基本定理的简单解释如下:
∫C∇f⋅dr=∫Cfxdx+fydy=∫Cdf=f(P1)−f(P0)\int_C\nabla f\cdot d\bold r=\int_Cf_xdx+f_ydy=\int_Cdf=f(P_1)-f(P_0)∫C∇f⋅dr=∫Cfxdx+fydy=∫Cdf=f(P1)−f(P0)
上式中的df=fxdx+fydydf= f_xdx+f_ydydf=fxdx+fydy就是势函数fff的恰微分形式(Exact Differentials)

梯度场的等价性质

现有一梯度场F=∇f=<M,N>\bold F=\nabla f=<M,N>F=∇f=<M,N>，

梯度场的线积分与路径无关（Path Independence）
∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr\int_{C_1}\bold F\cdot d\bold r=\int_{C_2}\bold F\cdot d\bold r∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr
下图给出了本条性质的图形解释：
梯度场是保守场（Conservative Field）：
如果平面内的曲线CCC是闭合曲线，那么FFF的线积分为0。
∮CF⋅dr=0\oint_C\bold F\cdot d\bold r=0∮CF⋅dr=0
Mdx+NdyMdx+NdyMdx+Ndy是势函数fff的恰微分形式
df=Mdx+Ndy,where M=fx,N=fydf=Mdx+Ndy,\ \text{where}\ M=f_x,\ N=f_y df=Mdx+Ndy, where M=fx, N=fy

如何检验一平面向量场是梯度场

如果向量场F=Mi+Nj=<M,N>\bold F=M\bold i+N\bold j=<M,N>F=Mi+Nj=<M,N>满足My=NxM_y=N_xMy=Nx，则该向量场为梯度场。

简单证明：
假设F=∇f=<fx,fy>=<M,N>\bold F =\nabla f=<f_x,f_y>=<M,N>F=∇f=<fx,fy>=<M,N>，则fxy=fyx=My=Nxf_{xy}=f_{yx}=M_y=N_xfxy=fyx=My=Nx，反之也成立。

由梯度场推导势场

上文详细介绍了梯度场的性质和检验方法，那么已知梯度场如何反向求解势函数呢？
方法1
该方法通过拆解线积分的路径来计算线积分的值。因为梯度场是路径无关的，即线积分等于终止点的值减去起始点的值，所以将线积分的路径拆解成几段好算的路径是可行的，比如将其分解成只沿xxx轴和yyy轴的路径。（该方法并不常用）
方法二
常用的方法是利用反导数求解势函数。用一道例题来解释该方法的细节。
已知一梯度场为F=<fx,fy>=<4x2+8xy,3y2+4x2>\bold F=<f_x,f_y>=<4x^2+8xy,3y^2+4x^2>F=<fx,fy>=<4x2+8xy,3y2+4x2>。
步骤：

对该梯度场任意分量积分，例如f=∫fxdxf=\int f_xdxf=∫fxdx
f=∫fxdx=43x3+4x2y+g(y)f=\int f_xdx=\frac{4}{3}x^3+4x^2y+g(y)f=∫fxdx=34x3+4x2y+g(y)
这里的g(y)g(y)g(y)是之关于变量yyy的函数。
对第一步中得到的含有g(y)g(y)g(y)的函数继续求导，并于原梯度场中的fyf_yfy联立算出g(y)g(y)g(y)，可以得到
fy=0+4x2+g′(y)=4x2+3y2f_y=0+4x^2+g'(y)=4x^2+3y^2fy=0+4x2+g′(y)=4x2+3y2g′(y)=3y2→g(y)=y3+Cg'(y)=3y^2\quad\to\quad g(y)=y^3+Cg′(y)=3y2→g(y)=y3+C
利用第二步中的结果计算原函数：
f=43x3+4x2y+y3+Cf=\frac{4}{3}x^3+4x^2y+y^3+Cf=34x3+4x2y+y3+C

B. 格林定理（Green’s Theorem）

尽管矢量场中的功是通过一维积分定义的，但这并不影响其从一维到二维积分的转化。该转化过程需要定义新的量，即旋度(Curl)。功是对向量场与曲线的切线方向积分得到的，如果要让向量场与曲线的法向做积分，就得到了二维通量，转化成二维积分的时候就需要定义新的量——散度（Divergence）

B.1 二维平面中的旋度

因为向量场F\bold FF只是在平面上的，所以其对应的旋度也是二维的。二维平面中旋度的定义为：
CurlF=Nx−My\text{Curl}\bold F=N_x-M_yCurlF=Nx−My
要注意在二维平面中，旋度是一个标量，但在三维空间中，旋度是一个矢量，二维旋度只是三维旋度下沿zzz轴的分量。

B.2 二维平面中的通量与散度

I. 2D 通量

其实功的一维积分表达式还可以写成（平面向量场是F=Mi+Nj\bold F=M\bold i+N\bold jF=Mi+Nj）∫CF⋅dr=∫CF⋅Tds\int_C \bold F\cdot d\bold r=\int_C \bold F\cdot \bold Tds ∫CF⋅dr=∫CF⋅Tds
其中T=v∣v∣\bold T=\frac{\bold v}{|\bold v|}T=∣v∣v是描述曲线切线方向的单位向量，dr=Tds=vdtd\bold r=\bold Tds=\bold v dtdr=Tds=vdt。

如果我们关注的是向量场在曲线法向的分量，我们就可以在功的表达式的基础上定义改进，即∫CF⋅nds\int_C \bold F\cdot \bold nds∫CF⋅nds接下来只要知道如何表达法向量n\bold nn就可以了。我们以参数sss来参数化路径向量r\bold rr，也就是r(s)=x(t)i+y(t)j\bold r(s)=x(t)\bold i+y(t)\bold jr(s)=x(t)i+y(t)j，切向向量微元Tds=vdt=<dx,dy>\bold Tds=\bold vdt=<dx,dy>Tds=vdt=<dx,dy>，又已知nds\bold ndsnds垂直于Tds\bold TdsTds，在二维平面中我们通常将切向向量向右旋转90°90\degree90°得到曲线的法向量（也就是默认曲线是逆时针方向的），所以nds=<dy,−dx>\bold nds=<dy,-dx>nds=<dy,−dx>以保证(nds)⋅(Tds)=0(\bold nds)\cdot(\bold Tds)=0(nds)⋅(Tds)=0。新的表达式即二维通量的表达式为：
∫CF⋅nds=∫C<M,N>⋅<dy,−dx>=∫CMdy−Ndx\int_C \bold F\cdot \bold nds=\int_C <M,N>\cdot<dy,-dx>=\int_C Mdy-Ndx∫CF⋅nds=∫C<M,N>⋅<dy,−dx>=∫CMdy−Ndx

II. 2D 散度

假设有一向量场F=<M,N>\bold F=<M,N>F=<M,N>，它的散度就表示为:
divF=Mx+Ny=∂M∂x+∂N∂y\text{div}\bold F=M_x+N_y=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}divF=Mx+Ny=∂x∂M+∂y∂N

B.3 格林定理（Green Theorem）——功（线积分）与旋度

I. 定理内容

给定以向量场F=<M,N>\bold F=<M,N>F=<M,N>，它在某一闭合曲线CCC上(包围的面积为RRR)的线积分为:
∮CF⋅dr=∮CMdx+Ndy=∬RCurlFdA=∬R(Nx−My)dA\oint_C \bold F \cdot d\bold r=\oint_CMdx+Ndy=\iint_R\text{Curl}\bold FdA=\iint_R(N_x-M_y)dA∮CF⋅dr=∮CMdx+Ndy=∬RCurlFdA=∬R(Nx−My)dA
其中Nx−MyN_x-M_yNx−My为向量场的二维旋度。下一章的笔记中会给出三维旋度的统一表达式。一些闭合曲线的示意图如下图:

注意闭合曲线的方向一定要满足右手定则（简单来说曲线应该是逆时针转动的）

II. 证明思路

证明格林定理的思路是：

首先将闭合曲线所构成的平面切割成一个个小矩形（Vertically Simple Region），这种切割方法方便在直角坐标系中的证明；
由于定理中存在叠加的式子Nx−MyN_x-M_yNx−My，对于左右两边的式子，可以先证明其中任意一个，比如右边的∬−Mydydx\iint-M_ydydx∬−Mydydx和左边的∮Mdx\oint Mdx∮Mdx，之后类推到N,NxN,N_xN,Nx；
最后叠加，在加法中需要注意，两条相邻的闭合曲线相加，其交线会相互抵消，如下图：

III. 旋度的简单物理解释

在流体速度场中，旋度度量的是旋转体的角速度（气体或液体）；而在力场中，旋度与旋转物体所受到的力矩（力乘以力臂）有关。

B.4 格林定理法向形式（Green Theorem in normal form）——通量（Flux）与散度

I. 定理内容

与格林定理一样，格林定理法相形式也需要闭合曲线CCC和它所包围的面积RRR及向量场F=<M,N>\bold F=<M,N>F=<M,N>，则通过闭合曲线的通量为：
∮CF⋅nds=∮CMdy−Ndx=∬RdivFdA=∬R(Mx+Ny)dA\oint_C\bold F\cdot\bold nds=\oint_CMdy-Ndx=\iint_R\text{div}\bold F\ dA=\iint_R(M_x+N_y)dA∮CF⋅nds=∮CMdy−Ndx=∬RdivF dA=∬R(Mx+Ny)dA
值得注意的是，格林定理的法向形式与格林定理本身是一致的，如果令M=N,N=MM=N,\ N=MM=N, N=M，这两个定理是一致的。

II.简单证明

跟证明格林定理的时候思路一样，先把闭合曲线围成的面积切割成一块块小矩形，如下图，

经过顶部曲线的通量是（法向量n=j\bold n = \bold jn=j）：
F⋅jΔs=N(x,y+Δy)Δx\bold F\cdot\bold j\Delta s=N(x,y+\Delta y)\Delta xF⋅jΔs=N(x,y+Δy)Δx
经过底部曲线的通量是（法向量n=−j\bold n = -\bold jn=−j）：
F⋅(−j)Δs=−N(x,y)Δx\bold F\cdot(-\bold j)\Delta s=-N(x,y)\Delta xF⋅(−j)Δs=−N(x,y)Δx
两者相加，(N(x,y+Δy)−N(x,y))Δx=∂N∂yΔyΔx(N(x,y+\Delta y)-N(x,y))\Delta x=\frac{\partial N}{\partial y}\Delta y \Delta x(N(x,y+Δy)−N(x,y))Δx=∂y∂NΔyΔx
左右两边也同理。

III.散度的简单物理解释

如果散度为正，说明该区域内有源（source），也就是发散的；如果散度为负，则说明该区域是汇聚点（sink），是收敛的。物理上，散度描述的是源速率（Source Rate），比如，有一流体，散度表示的就是每单位面积每单位时间加入系统的流体的量。

3.6 二维平面下格林定理总结

二维平面中的格林定理有两种形式，一种是切向，一种是法向。不同的形式有着不同的物理应用。切向形式的格林定理常用于做功；而法向的格林定理常用于计算通量。

单连通区域的描述（Simple Connected）
在上文的关于旋度，散度中，我们的暗含假设是闭合曲线CCC包围的面积RRR是单连通的。单连通区域需要满足以下条件：平面某一区域DDD内，任意闭合曲线所包含的区域都要在该区域DDD内。比如说完整的圆形就是单连通的，而圆环就不属于单连通区域。

格林定理扩展形式（Extended Form）
格林定理可以在非单连通区域内成立，某区域RRR如下如图所示。

则格林定理则为:
∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr+⋯+∫CmF⋅dr=∬RcurlFdA\int_{C1}\bold F\cdot d\bold r+\int_{C2}\bold F\cdot d\bold r+\cdots+\int_{Cm}\bold F\cdot d\bold r=\iint_R\text{curl}\bold FdA∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr+⋯+∫CmF⋅dr=∬RcurlFdA

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线积分或路径积分是积分的一种.在数学中,线积分的积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径.在物理学上,线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功. 线积分在物理学上,力所做的功等于 ...
多变量微积分笔记15——梯度场和势函数
梯度场的判别如果一个向量场F = Mi + Nj是一个梯度场,它的势函数是f(x,y),则: 所以说,对于一个在平面内处处有定义且处处可导的向量场F = Mi + Nj,如果存在My = Nx,那么 ...

多变量微积分笔记（3）——二重积分

文章目录

3. 多重积分——二重积分（Double Integrals）

3.1 直角坐标系下二重积分

二重积分的定义

如何选择积分上下限

3.2 极坐标下的二重积分

微元及二重积分表达式

如何选择积分上下限

3.3 二重积分中的换元方法

直角坐标系与极坐标之间的转化

Jacobian行列式

3.4 标量函数中二重积分的应用

质量

均值和质心

二维平面内的转动惯量

3.5 矢量场及矢量场中的积分

矢量场回顾

梯度场和势场——矢量场和标量场的转化

常见的矢量场

矢量场中的积分1——线积分（Line Integrals）

A. 功（Work）

线积分一般表达形式

梯度场与线积分基本定理

什么是梯度场

线积分基本定理

梯度场的等价性质

如何检验一平面向量场是梯度场

由梯度场推导势场

B. 格林定理（Green’s Theorem）

B.1 二维平面中的旋度

B.2 二维平面中的通量与散度

I. 2D 通量

II. 2D 散度

B.3 格林定理（Green Theorem）——功（线积分）与旋度

I. 定理内容

II. 证明思路

III. 旋度的简单物理解释

B.4 格林定理法向形式（Green Theorem in normal form）——通量（Flux）与散度

I. 定理内容

II.简单证明

III.散度的简单物理解释

3.6 二维平面下格林定理总结

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