UA OPTI570 量子力学27 角动量的叠加与Clebsch-Gordan系数

角动量算符的分解与其量子数的构成规则
Clebsch-Gordan系数

背景上一讲讨论了电子无自旋的氢原子，现在讨论电子有自旋的氢原子，用 E n , l , m \mathcal{E}_{n,l,m} En,l,m表示无自旋的氢原子的量子态， E s = 1 / 2 \mathcal{E}_{s=1/2} Es=1/2表示电子自旋的量子态，则电子有自旋的氢原子量子态空间为
E = E n , l , m ⊗ E s = 1 / 2 \mathcal{E}=\mathcal{E}_{n,l,m} \otimes \mathcal{E}_{s=1/2} E=En,l,m⊗Es=1/2

它的基为 { ∣ n , l , m ⟩ } ⊗ { ∣ s + ⟩ , ∣ s − ⟩ } \{|n,l,m \rangle\} \otimes \{|s+ \rangle,|s-\rangle\} {∣n,l,m⟩}⊗{∣s+⟩,∣s−⟩}。

2 p 2p 2p-level of Hydrogen，态空间的基为 { ∣ 2 , 1 , 1 ⟩ , ∣ 2 , 1 , 0 ⟩ , ∣ 2 , 1 , − 1 ⟩ } ⊗ { ∣ z + ⟩ , ∣ z − ⟩ } \{|2,1,1 \rangle,|2,1,0 \rangle,|2,1,-1\rangle\} \otimes \{|z+ \rangle,|z-\rangle\} {∣2,1,1⟩,∣2,1,0⟩,∣2,1,−1⟩}⊗{∣z+⟩,∣z−⟩}，也就是说这是一个6-D 态空间，基为
∣ 2 , 1 , 1 ⟩ ∣ + ⟩ , ∣ 2 , 1 , 1 ⟩ ∣ − ⟩ , ∣ 2 , 1 , 0 ⟩ ∣ + ⟩ ∣ 2 , 1 , 0 ⟩ ∣ − ⟩ , ∣ 2 , 1 , − 1 ⟩ ∣ + ⟩ , ∣ 2 , 1 , − 1 ⟩ ∣ − ⟩ |2,1,1 \rangle |+ \rangle,|2,1,1 \rangle |- \rangle,|2,1,0 \rangle |+ \rangle \\ |2,1,0 \rangle |- \rangle,|2,1,-1 \rangle |+ \rangle,|2,1,-1 \rangle |- \rangle ∣2,1,1⟩∣+⟩,∣2,1,1⟩∣−⟩,∣2,1,0⟩∣+⟩∣2,1,0⟩∣−⟩,∣2,1,−1⟩∣+⟩,∣2,1,−1⟩∣−⟩

它们的矩阵表示分别为 e 1 , e 2 , ⋯ , e 6 e_1,e_2,\cdots,e_6 e1,e2,⋯,e6 （ e i e_i ei表示只有第 i i i个元素为1其他元素为0的列向量）， S z S_z Sz的矩阵表示为，
S z = ℏ 2 [ 1 − 1 1 − 1 1 − 1 ] S_z = \frac{\hbar}{2} \left[ \begin{matrix} 1 \\ & -1 \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & 1 \\ & & & & & -1 \end{matrix} \right] Sz=2ℏ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−11−11−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

总角动量为 J = L + S \textbf J=\textbf L + \textbf S J=L+S，已知 L \textbf L L与 S \textbf S S的特征方程，要讨论 J \textbf J J的量子数，需要先了解角动量算符的分解与其量子数的构成规则。

角动量算符的分解与其量子数的构成规则

问题描述
假设某个角动量算符可以写成另外两个角动量算符的和， J = J 1 + J 2 \textbf J=\textbf J_1+\textbf J_2 J=J1+J2，并且 [ J 1 , J 2 ] = 0 [\textbf J_1,\textbf J_2]=0 [J1,J2]=0，如果
J 1 2 ∣ j 1 , m 1 ⟩ = ℏ 2 j 1 ( j 1 + 1 ) ∣ j 1 , m 1 ⟩ , J 1 z = ℏ m 1 ∣ j 1 , m 1 ⟩ J 2 2 ∣ j 2 , m 2 ⟩ = ℏ 2 j 2 ( j 2 + 1 ) ∣ j 2 , m 2 ⟩ , J 2 z = ℏ m 2 ∣ j 2 , m 2 ⟩ \textbf J_1^2|j_1,m_1\rangle=\hbar^2 j_1(j_1+1)|j_1,m_1 \rangle ,J_{1z}=\hbar m_1|j_1,m_1 \rangle \\ \textbf J_2^2|j_2,m_2\rangle=\hbar^2 j_2(j_2+1)|j_2,m_2 \rangle,J_{2z}=\hbar m_2|j_2,m_2 \rangle J12∣j1,m1⟩=ℏ2j1(j1+1)∣j1,m1⟩,J1z=ℏm1∣j1,m1⟩J22∣j2,m2⟩=ℏ2j2(j2+1)∣j2,m2⟩,J2z=ℏm2∣j2,m2⟩

要计算 J \textbf J J的量子数(quantum number) j j j与 j 1 , j 2 j_1,j_2 j1,j2的关系。

TP basis
用 E j 1 \mathcal{E}_{j_1} Ej1与 E j 2 \mathcal{E}_{j_2} Ej2表示量子数 j 1 , j 2 j_1,j_2 j1,j2对应的态空间， E j 1 \mathcal{E}_{j_1} Ej1与 E j 2 \mathcal{E}_{j_2} Ej2的基可以是 { ∣ j 1 , m 1 z ⟩ } \{|j_1,m_{1z} \rangle\} {∣j1,m1z⟩}与 { ∣ j 2 , m 2 z ⟩ } \{|j_2,m_{2z} \rangle\} {∣j2,m2z⟩}，于是总角动量的态空间可以用张量积定义：
E = E j 1 ⊗ E j 2 \mathcal{E}=\mathcal{E}_{j_1} \otimes \mathcal{E}_{j_2} E=Ej1⊗Ej2

由此可以自然写出它的一组基为 { ∣ j 1 , j 2 , m 1 z , m 2 z ⟩ } \{|j_1,j_2,m_{1z},m_{2z} \rangle\} {∣j1,j2,m1z,m2z⟩}或者简单记为 { ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ } \{|j_1,j_2,m_{1},m_{2} \rangle\} {∣j1,j2,m1,m2⟩}，称由分量的态空间的张量积定义的基为tensor product basis (TP basis)。

例考虑有自旋的电子，它的角动量的态空间为orbital angular momentum的态空间与spin angular momentum的态空间的张量积
E = E l ⊗ E s = 1 / 2 \mathcal{E}=\mathcal{E}_l \otimes \mathcal{E}_{s=1/2} E=El⊗Es=1/2

例粒子1的spin angular momentum的量子数为 s 1 s_1 s1，粒子2的spin angular momentum的量子数为 s 2 s_2 s2，则粒子1和粒子2构成的系统总角动量态空间为
E = E s 1 ⊗ E s 2 \mathcal{E}=\mathcal{E}_{s_1} \otimes \mathcal{E}_{s_2} E=Es1⊗Es2

TP basis为 { ∣ s 1 , s 2 , m 1 , m 2 ⟩ } \{|s_1,s_2,m_1,m_2 \rangle\} {∣s1,s2,m1,m2⟩}。

TAM basis
对于 J = J 1 + J 2 \textbf J=\textbf J_1+\textbf J_2 J=J1+J2定义的总角动量，它的态空间的另一组基为 { j 1 , j 2 , j , m j ⟩ } \{j_1,j_2,j,m_j \rangle\} {j1,j2,j,mj⟩}，当 j 1 , j 2 j_1,j_2 j1,j2给定时可以简写为 { ∣ j , m j ⟩ } \{|j,m_j \rangle\} {∣j,mj⟩}，这组基被称为total angular momentum basis (TAM basis)。

基本性质
现在我们尝试基于 J = J 1 + J 2 \textbf J=\textbf J_1+\textbf J_2 J=J1+J2推导一下这个分解的基本性质：
J 2 = ( J 1 + J 2 ) ( J 1 + J 2 ) = J 1 2 + J 2 2 + 2 J 1 J 2 \textbf J^2 = (\textbf J_1 + \textbf J_2)(\textbf J_1 + \textbf J_2) = \textbf J_1^2 + \textbf J_2^2 +2 \textbf J_1 \textbf J_2 J2=(J1+J2)(J1+J2)=J12+J22+2J1J2

(i) [ J 2 , J 1 2 ] = 0 [\textbf J^2,\textbf J_1^2]=0 [J2,J12]=0
[ J 2 , J 1 2 ] = [ J 1 2 + J 2 2 + 2 J 1 J 2 , J 1 2 ] = [ J 1 2 , J 1 2 ] + [ J 2 2 , J 1 2 ] + 2 [ J 1 J 2 , J 1 2 ] = 0 [\textbf J^2,\textbf J_1^2]=[\textbf J_1^2 + \textbf J_2^2 +2 \textbf J_1 \textbf J_2,\textbf J_1^2] = [\textbf J_1^2,\textbf J_1^2]+[\textbf J_2^2,\textbf J_1^2]+2[\textbf J_1 \textbf J_2,\textbf J_1^2]=0 [J2,J12]=[J12+J22+2J1J2,J12]=[J12,J12]+[J22,J12]+2[J1J2,J12]=0

(ii) [ J 1 z , J 2 ] ≠ 0 [J_{1z},\textbf J^2] \ne 0 [J1z,J2]=0
[ J 1 z , J 2 ] = [ J 1 z , J 1 2 + J 2 2 + 2 J 1 J 2 ] = 2 [ J 1 z , J 1 J 2 ] = 2 [ J 1 z , J 1 x J 2 x + J 1 y J 2 y + J 1 z J 2 z ] ≠ 0 [J_{1z},\textbf J^2]=[J_{1z},\textbf J_1^2 + \textbf J_2^2 +2 \textbf J_1 \textbf J_2]=2[J_{1z},\textbf J_1 \textbf J_2] \\ =2[J_{1z},J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}+J_{1z}J_{2z}] \ne 0 [J1z,J2]=[J1z,J12+J22+2J1J2]=2[J1z,J1J2]=2[J1z,J1xJ2x+J1yJ2y+J1zJ2z]=0

因为根据角动量算符的定义， [ J 1 z , J 1 x ] ≠ 0 , [ J 1 z , J 1 y ] ≠ 0 [J_{1z},J_{1x}] \ne 0,[J_{1z},J_{1y}] \ne 0 [J1z,J1x]=0,[J1z,J1y]=0。

角动量叠加的量子数规则
对于 J = J 1 + J 2 \textbf J=\textbf J_1+\textbf J_2 J=J1+J2定义的总角动量，它的量子数 j j j的取值范围是
∣ j 1 − j 2 ∣ ≤ j ≤ ∣ j 1 + j 2 ∣ |j_1-j_2| \le j \le |j_1+j_2| ∣j1−j2∣≤j≤∣j1+j2∣

如果 j 1 , j 2 ∈ Z j_1,j_2 \in \mathbb{Z} j1,j2∈Z或者 j 1 , j 2 ∈ Z + 1 / 2 j_1,j_2 \in \mathbb{Z}+1/2 j1,j2∈Z+1/2，则 j ∈ Z j \in \mathbb{Z} j∈Z， m j ∈ [ − j , j ] ∩ Z m_j \in [-j,j] \cap \mathbb{Z} mj∈[−j,j]∩Z；如果 j 1 ∈ Z , j 2 ∈ Z + 1 / 2 j_1 \in \mathbb{Z},j_2 \in \mathbb{Z}+1/2 j1∈Z,j2∈Z+1/2或者 j 2 ∈ Z , j 1 ∈ Z + 1 / 2 j_2 \in \mathbb{Z},j_1 \in \mathbb{Z}+1/2 j2∈Z,j1∈Z+1/2，则 j ∈ Z + 1 / 2 j \in \mathbb{Z}+1/2 j∈Z+1/2， m j ∈ [ − j , j ] ∩ Z + 1 / 2 m_j \in [-j,j] \cap \mathbb{Z}+1/2 mj∈[−j,j]∩Z+1/2。

TP basis的closure relation为
1 ^ = ∑ m 1 ∑ m 2 ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ ⟨ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ∣ m 1 ∈ [ − j 1 , j 1 ] ∩ Z , m 2 ∈ [ − j 2 , j 2 ] ∩ Z \hat{1} = \sum_{m_1}\sum_{m_2} |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle \langle j_1,j_2,m_1,m_2 | \\ m_1 \in [-j_1,j_1]\cap \mathbb{Z},m_2 \in [-j_2,j_2]\cap \mathbb{Z} 1^=m1∑m2∑∣j1,j2,m1,m2⟩⟨j1,j2,m1,m2∣m1∈[−j1,j1]∩Z,m2∈[−j2,j2]∩Z

TAM basis的closure relation为
1 ^ = ∑ j ∑ m j ∣ j , m j ⟩ ⟨ j , m j ∣ \hat{1}=\sum_j \sum_{m_j} |j,m_j \rangle \langle j,m_j | 1^=j∑mj∑∣j,mj⟩⟨j,mj∣

这两组基可以互相转换。另外根据 J = J 1 + J 2 \textbf J=\textbf J_1+\textbf J_2 J=J1+J2可知 J z = J 1 z + J 2 z J_{z}=J_{1z}+J_{2z} Jz=J1z+J2z，所以 m j m_j mj与 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2之间的约束为
m 1 + m 2 = m j m_1+m_2=m_j m1+m2=mj

例假设 j 1 = 3 / 2 , j 2 = 1 j_1=3/2,j_2=1 j1=3/2,j2=1，则
∣ 3 / 2 − 1 ∣ ≤ j ≤ 3 / 2 + 1 , j ∈ { 1 / 2 , 3 / 2 , 5 / 2 } |3/2-1| \le j \le 3/2+1,j \in \{1/2,3/2,5/2\} ∣3/2−1∣≤j≤3/2+1,j∈{1/2,3/2,5/2}

TP basis: { j 1 , j 2 , m 1 , m 2 } \{j_1,j_2,m_1,m_2\} {j1,j2,m1,m2}， m 1 m_1 m1与 m 2 m_2 m2可能的取值为

j j j	m j m_j mj	m 1 m_1 m1	m 2 m_2 m2
5/2	5/2	3/2	1
3/2或者5/2	3/2	3/2	0
1/2或者3/2或者5/2	3/2	3/2	-1
⋯ \cdots ⋯

这些可能的取值能够帮助我们做TP basis与TAM basis之间的转换，比如要把TP basis中的左矢 ∣ 3 / 2 , 1 , 3 / 2 , − 1 ⟩ |3/2,1,3/2,-1 \rangle ∣3/2,1,3/2,−1⟩写成TAM basis中的左矢的叠加，根据这张表第四行的结果，应该是写成 ∣ 5 / 2 , 1 / 2 ⟩ |5/2,1/2 \rangle ∣5/2,1/2⟩， ∣ 3 / 2 , 1 / 2 ⟩ |3/2,1/2 \rangle ∣3/2,1/2⟩, ∣ 1 / 2 , 1 / 2 ⟩ |1/2,1/2 \rangle ∣1/2,1/2⟩这三个左矢的叠加，接下来只需要确定系数即可。下面我们引入Clebsch-Gordan系数，这是用来做TAM basis与TP basis两组基的转换的一般性工具。

Clebsch-Gordan系数

要做两组基之间的转换可以用closure relation法。
∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ = ∑ j ∑ m j ∣ j , m j ⟩ ⟨ j , m j ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ = ∑ j ∑ m j ⟨ j , m j ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ ∣ j , m j ⟩ ∣ j , m j ⟩ = ∑ j ∑ m j ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ ⟨ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ∣ j , m j ⟩ = ∑ j ∑ m j ⟨ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ∣ j , m j ⟩ ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ \begin{aligned}|j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle & = \sum_j \sum_{m_j} |j,m_j \rangle \langle j,m_j |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle \\ & =\sum_j \sum_{m_j} \langle j,m_j |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle |j,m_j \rangle\end{aligned} \\ \begin{aligned}|j,m_j \rangle & = \sum_j \sum_{m_j} |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle \langle j_1,j_2,m_1,m_2 | j,m_j \rangle \\ & =\sum_j \sum_{m_j} \langle j_1,j_2,m_1,m_2 | j,m_j \rangle |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle \end{aligned} ∣j1,j2,m1,m2⟩=j∑mj∑∣j,mj⟩⟨j,mj∣j1,j2,m1,m2⟩=j∑mj∑⟨j,mj∣j1,j2,m1,m2⟩∣j,mj⟩∣j,mj⟩=j∑mj∑∣j1,j2,m1,m2⟩⟨j1,j2,m1,m2∣j,mj⟩=j∑mj∑⟨j1,j2,m1,m2∣j,mj⟩∣j1,j2,m1,m2⟩

上式中线性展开的系数满足
⟨ j , m j ∣ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ⟩ = ( ⟨ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ∣ j , m j ⟩ ) ∗ = ⟨ j 1 , j 2 , m 1 , m 2 ∣ j , m j ⟩ \langle j,m_j |j_1,j_2,m_1,m_2 \rangle = (\langle j_1,j_2,m_1,m_2 | j,m_j \rangle)^* \\ =\langle j_1,j_2,m_1,m_2 | j,m_j \rangle ⟨j,mj∣j1,j2,m1,m2⟩=(⟨j1,j2,m1,m2∣j,mj⟩)∗=⟨j1,j2,m1,m2∣j,mj⟩

称这些系数为Clebsch-Gordan系数，它们都是实数。

Clebsch-Gordan系数表

例电子有自旋的氢原子的 2 p 2p 2p激发态中， l = 1 , s = 1 / 2 l=1,s=1/2 l=1,s=1/2， j ∈ { 1 / 2 , 3 / 2 } j \in \{1/2,3/2\} j∈{1/2,3/2}，如果 j = 1 / 2 j=1/2 j=1/2, m j ∈ { − 1 / 2 , 1 / 2 } m_j \in \{-1/2,1/2\} mj∈{−1/2,1/2}；如果 j = 3 / 2 , m j ∈ { − 3 / 2 , − 1 / 2 , 1 / 2 , 3 / 2 } j=3/2,m_j \in \{-3/2,-1/2,1/2,3/2\} j=3/2,mj∈{−3/2,−1/2,1/2,3/2}。要求将 ∣ l = 1 , s = 1 / 2 , m l = 0 , m s = 1 / 2 ⟩ |l=1,s=1/2,m_l=0,m_s=1/2\rangle ∣l=1,s=1/2,ml=0,ms=1/2⟩用TAM basis表示。

根据 m j = m l + m s m_j=m_l+m_s mj=ml+ms的约束条件， m j = 1 / 2 m_j=1/2 mj=1/2，因为 m j ∈ [ − j , j ] ∩ Z + 1 / 2 m_j \in [-j,j]\cap \mathbb{Z+1/2} mj∈[−j,j]∩Z+1/2，所以 j = 1 / 2 j=1/2 j=1/2或者 3 / 2 3/2 3/2，因此
∣ l = 1 , s = 1 / 2 , m l = 0 , m s = 1 / 2 ⟩ = C 1 ∣ 1 / 2 , 1 / 2 ⟩ + C 2 ∣ 3 / 2 , 1 / 2 ⟩ |l=1,s=1/2,m_l=0,m_s=1/2\rangle = C_1|1/2,1/2 \rangle +C_2|3/2,1/2 \rangle ∣l=1,s=1/2,ml=0,ms=1/2⟩=C1∣1/2,1/2⟩+C2∣3/2,1/2⟩

接下来需要确定线性展开系数 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2。

为此我们介绍一下Clebsch-Gordan系数表，它的基本结构为

空白部分代表系数矩阵，这个系数矩阵的每一列对应一组总角动量量子数的取值，每一行代表总角动量的分解对应的量子数。以这个例子说明通过Clebsch-Gordan系数表找线性展开系数的通用方法：

第一步：通过 j 1 , j 2 j_1,j_2 j1,j2找到正确的Clebsch-Gordan系数表；在这个例子中， j 1 j_1 j1代表orbital angular momentum的量子数 l l l， j 2 j_2 j2代表spin angular momentum的量子数 s s s，所以我们需要的表为 1 × 1 / 2 1 \times 1/2 1×1/2 Clebsch-Gordan系数表，也就是下图中的第二个表。

第二步：在表中找到对应的行；在这个问题中 m 1 = m l = 0 , m 2 = m s = 1 / 2 m_1=m_l=0,m_2=m_s=1/2 m1=ml=0,m2=ms=1/2，所以我们需要的是表中第二个系数矩阵的第二行。

第三步：根据对应列确定我们需要的系数；在这个例子中， C 1 C_1 C1对应 j = 3 / 2 , m j = 1 / 2 j=3/2,m_j=1/2 j=3/2,mj=1/2的那一列，所以 C 1 = − 1 / 3 C_1=-1/3 C1=−1/3， C 2 C_2 C2对应 j = 1 / 2 , m j = 1 / 2 j=1/2,m_j=1/2 j=1/2,mj=1/2的那一列，所以 C 2 = 2 / 3 C_2=2/3 C2=2/3

综上，
∣ l = 1 , s = 1 / 2 , m l = 0 , m s = 1 / 2 ⟩ = − 1 3 ∣ 1 / 2 , 1 / 2 ⟩ + 2 3 ∣ 3 / 2 , 1 / 2 ⟩ |l=1,s=1/2,m_l=0,m_s=1/2\rangle = -\frac{1}{3}|1/2,1/2 \rangle +\frac{2}{3}|3/2,1/2 \rangle ∣l=1,s=1/2,ml=0,ms=1/2⟩=−31∣1/2,1/2⟩+32∣3/2,1/2⟩