近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

个人感觉循环群需要原根的基础知识，这里是我对原根的部分记录。

三个方法：

1.定义

循环群：设群GGG中任意元素都可以表示成某一固定元素aaa的幂次，G={an∣n∈Z}，G=\{a^n|n\in Z\}，G={an∣n∈Z}，那么称GGG为循环群，aaa为群GGG的生成元，写成G=<a>G=<a>G=<a>。

2.循环群的子群也是循环群。

证明：假设循环群G=<a>,G=<a>,G=<a>,因为<e><e><e>和<a><a><a>不需要证明，直接是循环群，所以我们只需考虑那些非单位元{e}\{e\}{e}、非群GGG本身的其他群，假设子群为HHH，
设s>1,s>1,s>1,是使得as∈Ha^s\in Has∈H的最小数，我们只需证HHH中的所有元素都可以用asa^sas的幂次来表示即可。
我们假设ama^mam是HHH的任意元素，那么m=q⋅s+r,∃q,r∈Z,0≤r<sm=q·s+r,{\exists}q,r\in Z,0\le r<sm=q⋅s+r,∃q,r∈Z,0≤r<s
我们有ar=am⋅(a−qs)=am⋅((as)q)−1a^r=a^m·(a^{-qs})=a^m·((a^s)^q)^{-1}ar=am⋅(a−qs)=am⋅((as)q)−1
因为as∈H,a^s\in H,as∈H,由群的“封闭性”可知，(as)q∈H(a^s)^q\in H(as)q∈H;又由群的“单位元+逆元”可知，((as)q)−1∈H((a^s)^q)^{-1}\in H((as)q)−1∈H，所以am⋅((as)q)−1∈Ha^m·((a^s)^q)^{-1}\in Ham⋅((as)q)−1∈H，即ar∈H。a^r\in H。ar∈H。
又因为sss是使得as∈Ha^s\in Has∈H的最小数，所以r=0r=0r=0，即m=q⋅s,am=(as)qm=q·s,a^m=(a^s)^qm=q⋅s,am=(as)q，即任意am∈Ha^m\in Ham∈H都可以写成asa^sas的幂次形式。

3.素数阶群一定是循环群，非单位元都是生成元。

假设素数阶群为GGG，∣G∣=p,p|G|=p,p∣G∣=p,p为素数。
任意元素a∈G,a≠ea\in G,a\neq ea∈G,a=e，由之前信息安全数学基础–群环域–拉格朗日定理（关于群的陪集）证过的∣G∣=∣H∣⋅[G:H]|G|=|H|·[G:H]∣G∣=∣H∣⋅[G:H]，我们知道任意子群∣H∣|H|∣H∣与群∣G∣|G|∣G∣的阶都是有整除关系的，即∣H∣∣∣G∣|H|\mid |G|∣H∣∣∣G∣。根据群的“封闭性”，我们知道<a><a><a>是GGG的子群，所以有∣<a>∣∣∣G∣=p|<a>|\mid |G|=p∣<a>∣∣∣G∣=p。

此时，a∣G∣=1a^{|G|}=1a∣G∣=1。为什么不是≡1(mod∣G∣)\equiv 1(mod |G|)≡1(mod∣G∣)，因为对于群(G，⋅)(G，·)(G，⋅)，运算⋅·⋅本身包含了⋅(mod∣G∣)·(mod |G|)⋅(mod∣G∣)的意思，即每次做群运算都有⋅(mod∣G∣)·(mod |G|)⋅(mod∣G∣)，而不是最后乘法结果⋅(mod∣G∣)·(mod |G|)⋅(mod∣G∣)。

又因为a≠e,→∣a∣≠1a\neq e,\rightarrow |a|\neq 1a=e,→∣a∣=1，所以∣<a>∣=p|<a>|=p∣<a>∣=p，即G=<a>G=<a>G=<a>。

所以，非循环群最小阶数为4。

1阶群，只有一个元素，是循环群；
因为2、3是素数，所以2阶，3阶群是循环群；
- 唯一三阶群：{1,a,b}\{1,a,b\}{1,a,b}，循环群
存在阶数为4的非循环群；
- 某个四阶群（四阶群不唯一）：{1,a,b,c}\{1,a,b,c\}{1,a,b,c}，非循环群

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