置换奇偶性定义

偶置换even permutation：分解成偶数个对换。
奇置换odd permutation：分解成奇数个对换。

置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一

在置换分解成轮换中，我们说置换会分解成唯一的轮换，那么分解成对换呢？

置换分解成对换的结果不唯一，因为轮换分解成对换的结果不唯一。
- 首先，单个轮换是具有轮换不变性的，(x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)(x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)(x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)，元素一样，是同一个轮换。
- 但是，同一个轮换分解成的对换不唯一。
  - (x,y,z)=(x,y)(y,z)(x,y,z)=(x,y)(y,z)(x,y,z)=(x,y)(y,z)
  - (y,z,x)=(y,z)(z,x)(y,z,x)=(y,z)(z,x)(y,z,x)=(y,z)(z,x)
  - (z,x,y)=(z,x)(x,y)(z,x,y)=(z,x)(x,y)(z,x,y)=(z,x)(x,y)

证明置换轮换的等价式

公式证明：
- (1) (k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)(k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)(k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)
- (2) (k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)(k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)(k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)

证明 (1) 式

我们先考虑 (1) 式的左边。先把ddd替换成l:d←ll:d\leftarrow ll:d←l；把bbb替换成k:b←kk:b\leftarrow kk:b←k；再把k、lk、lk、l互换，即d←l←k；b←k←ld\leftarrow l\leftarrow k；b \leftarrow k \leftarrow ld←l←k；b←k←l。
现在考虑 (1) 式的右边。把bbb替换成l:b←ll:b\leftarrow ll:b←l；把ddd替换成k:d←kk:d\leftarrow kk:d←k；

可以看出，左边的变换与右边的变换是等价的。同理 (2) 式。

置换分解成对换的奇偶性

置换分解成对换的结果不唯一，将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。

证明：
假设σ\sigmaσ为任一nnn阶置换，写成sss个不相交轮换（包括1-轮换）之积，即σ=τ1⋅τ2⋅……τs\sigma=\tau_1·\tau_2·……\tau_sσ=τ1⋅τ2⋅……τs，设函数N(σ)=(−1)n−sN(\sigma)=(-1)^{n-s}N(σ)=(−1)n−s，显然，N(σ)N(\sigma)N(σ)由σ\sigmaσ惟一确定。

现在证明若(a,b)(a,b)(a,b)为任意对换，N((a,b)σ)=(−1)N(σ)N((a,b)\sigma)=(-1)N(\sigma)N((a,b)σ)=(−1)N(σ)
- 如果a,ba,ba,b处于σ\sigmaσ的同一个轮换τ1=(a,c1,……ck,b,d1,……dh)\tau_1=(a,c_1,……c_k,b,d_1,……d_h)τ1=(a,c1,……ck,b,d1,……dh)中，
  （1）由公式(k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)(k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)(k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)得：
  （2）(a,b)σ=(a,b)τ1⋅τ2……⋅τs=((a,b)τ1)⋅τ2……τs=(a,c1,……ck)(b,d1,……dh)τ2τ3……τs(a,b)\sigma\\=(a,b)\tau_1·\tau_2……·\tau_s\\=((a,b)\tau_1)·\tau_2……\tau_s\\=(a,c_1,……c_k)(b,d_1,……d_h)\tau_2\tau_3……\tau_s(a,b)σ=(a,b)τ1⋅τ2……⋅τs=((a,b)τ1)⋅τ2……τs=(a,c1,……ck)(b,d1,……dh)τ2τ3……τs
  （3）N((a,b)σ)=(−1)n−(s+1)=(−1)N(σ)N((a,b)\sigma)=(-1)^{n-(s+1)}=(-1)N(\sigma)N((a,b)σ)=(−1)n−(s+1)=(−1)N(σ)
- 如果a,ba,ba,b处于σ\sigmaσ的不同轮换τ1=(a,c1,……ck),τ2=(b,d1,……dh)\tau_1=(a,c_1,……c_k),\tau_2=(b,d_1,……d_h)τ1=(a,c1,……ck),τ2=(b,d1,……dh)中，
  （1）由公式(k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)(k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)(k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)得：
  （2）(a,b)σ=(a,b)τ1⋅τ2……⋅τs=((a,b)τ1⋅τ2)τ3……τs=(a,c1,……ck,b,d1,……dh)τ3……τs(a,b)\sigma\\=(a,b)\tau_1·\tau_2……·\tau_s\\=((a,b)\tau_1·\tau_2)\tau_3……\tau_s\\=(a,c_1,……c_k,b,d_1,……d_h)\tau_3……\tau_s(a,b)σ=(a,b)τ1⋅τ2……⋅τs=((a,b)τ1⋅τ2)τ3……τs=(a,c1,……ck,b,d1,……dh)τ3……τs
  （3）N((a,b)σ)=(−1)n−(s−1)=(−1)N(σ)N((a,b)\sigma)=(-1)^{n-(s-1)}=(-1)N(\sigma)N((a,b)σ)=(−1)n−(s−1)=(−1)N(σ)

综上两种情况，N((a,b)σ)=(−1)N(σ)N((a,b)\sigma)=(-1)N(\sigma)N((a,b)σ)=(−1)N(σ)

设σ\sigmaσ可分别表示为hhh个对换和kkk个对换的乘积（因为对换分解结果不惟一）：
即σ=(a1,b1)(a2,b2)……(ah,bh)=(c1,d1)(c2,d2)……(ck,dk)\sigma=(a_1,b_1)(a_2,b_2)……(a_h,b_h)\\=(c_1,d_1)(c_2,d_2)……(c_k,d_k)σ=(a1,b1)(a2,b2)……(ah,bh)=(c1,d1)(c2,d2)……(ck,dk)

则N(σ)=N(σ⋅1)=N((a1,b1)(a2,b2)……(ah,bh)⋅(1))=(−1)h⋅N(1)=(−1)hN(\sigma)\\=N(\sigma·1)\\=N((a_1,b_1)(a_2,b_2)……(a_h,b_h)·(1))\\=(-1)^h·N(1)=(-1)^hN(σ)=N(σ⋅1)=N((a1,b1)(a2,b2)……(ah,bh)⋅(1))=(−1)h⋅N(1)=(−1)h

同理，N(σ)=(−1)kN(\sigma)=(-1)^kN(σ)=(−1)k
所以(−1)h=(−1)k(-1)^h=(-1)^k(−1)h=(−1)k，hhh和kkk具有相同的奇偶性

近世代数--置换群--判断置换的奇偶性相关推荐

近世代数--置换群--一个置换的例子
近世代数--置换群--一个置换的例子博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. 在S4S ...
近世代数--置换群--置换permutation分解成什么？置换的级如何计算？
近世代数--置换群--置换permutation分解成什么?置换的级如何计算? 置换的分解置换的级计算博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如 ...
近世代数笔记与题型连载第八章（置换群）
文章目录基本概念 1.置换 2.置换的复合 3.置换群 4.置换的轮换表示 5.轮换的逆 6.轮换的不相交 7.轮换的阶 8.对换 9.置换的奇偶性 10.置换的类型 11.正多边形旋转翻转构成的群 ...
近世代数--子环--怎么判断是不是子环？
近世代数--子环--怎么判断是不是子环? 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. 环r ...
近世代数--群--怎么判断是不是群？
近世代数--群--怎么判断是不是群? 基本定义左单位元左逆元 xa=bxa=bxa=b ay=b有解ay=b有解ay=b有解满足左.右消去律的有限半群是群含幺半群的可逆元构成群博主是初学近世 ...
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群? 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. ...
用c语言a的n次再取p的余数,近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分. 1.设A ＝B ＝ ...
群同态基本定理证明_近世代数(3)——群的基本性质
参考教材 <近世代数>.丘维声著 <近世代数>.韩士安著 <Algebra>.Artin著 <代数学引论>.聂灵沼.丁石孙著前言上节我们引入了循环群 ...
哈工大近世代数期末复习
近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础. 本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载 1.代数系半群:满足结合律的代数系交换 ...

近世代数--置换群--判断置换的奇偶性