近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

通过直积，我们可以把若干个小群组合成一个大群，也可以把一个大群分解成一些子群的乘积。

外直积：(external direct product)

G1,G2G_1,G_2G1,G2是群，
构造集合G1、G2G_1、G_2G1、G2的卡氏积，G={(a1,a2)∣a1∈G1,a2∈G2}G=\{(a_1,a_2)|a_1\in G_1,a_2\in G_2\}G={(a1,a2)∣a1∈G1,a2∈G2}，
在GGG中定义乘法运算，(a1,a2)⋅(b1,b2)=(a1b1,a2b2),(a1,a2)∈G(a_1,a_2)·(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2),(a_1,a_2)\in G(a1,a2)⋅(b1,b2)=(a1b1,a2b2),(a1,a2)∈G，
则GGG关于乘法构成群，称为群G1G_1G1和G2G_2G2的外直积，记作G=G1G=G_1G=G1 x G2G_2G2。

外直积性质：
性质1：G=G1G=G_1G=G1 x G2G_2G2是群G1、G2G_1、G_2G1、G2的外直积。
（1）：GGG是有限群↔G1、G2\leftrightarrow G_1、G_2↔G1、G2都是有限群，且∣G∣=∣G1∣⋅∣G2∣|G|=|G_1|·|G_2|∣G∣=∣G1∣⋅∣G2∣
证明：这个由定义可知，无需证明。

（2）：GGG是Abel群↔G1、G2\leftrightarrow G_1、G_2↔G1、G2都是Abel群
证明：

G1、G2G_1、G_2G1、G2都是Abel群→G\rightarrow G→G是Abel群：
G1、G2G_1、G_2G1、G2都是Abel群→∀a1,b1∈G1,∀a2,b2∈G2,\\\rightarrow \forall a_1,b_1\in G_1,\forall a_2,b_2\in G_2,→∀a1,b1∈G1,∀a2,b2∈G2,有a1b1=b1a1,a2b2=b2a2a_1b_1=b_1a_1,a_2b_2=b_2a_2a1b1=b1a1,a2b2=b2a2→∀(a1,a2),(b1,b2)∈G,\\\rightarrow \forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,→∀(a1,a2),(b1,b2)∈G,有(a1,a2)⋅(b1,b2)=(a1b1,a2b2)=(b1a1,b2a2)=(b1,b2)⋅(a1,a2)→G(a_1,a_2)·(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2)=(b_1a_1,b_2a_2)=(b_1,b_2)·(a_1,a_2)\\\rightarrow G(a1,a2)⋅(b1,b2)=(a1b1,a2b2)=(b1a1,b2a2)=(b1,b2)⋅(a1,a2)→G是Abel群
GGG是Abel群→G1、G2\rightarrow G_1、G_2→G1、G2都是Abel群：
GGG是Abel群→∀(a1,a2),(b1,b2)∈G,\\\rightarrow \forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,→∀(a1,a2),(b1,b2)∈G,有(a1,a2)(b1,b2)=(b1,b2)(a1,a2),(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(b_1,b_2)(a_1,a_2),(a1,a2)(b1,b2)=(b1,b2)(a1,a2),又(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2),(b1,b2)(a1,a2)=(b1a1,b2a2),→a1b1=b1a1,a2b2=b2a2→G1、G2(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2),(b_1,b_2)(a_1,a_2)=(b_1a_1,b_2a_2),\\\rightarrow a_1b_1=b_1a_1,a_2b_2=b_2a_2\\\rightarrow G_1、G_2(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2),(b1,b2)(a1,a2)=(b1a1,b2a2),→a1b1=b1a1,a2b2=b2a2→G1、G2都是Abel群

（3）：G1G_1G1 x G2≅G2G_2\cong G_2G2≅G2 x G1G_1G1
证明：

构造映射：φ：G1\varphi：G_1φ：G1 x G2→G2G_2\rightarrow G_2G2→G2 x G1G_1G1，即(a1,a2)→(a2,a1),∀(a1,a2)∈G1(a_1,a_2)\rightarrow (a_2,a_1),\forall (a_1,a_2)\in G_1(a1,a2)→(a2,a1),∀(a1,a2)∈G1 x G2G_2G2
同态：要证φ((a1,a2)(b1,b2))=φ(a1,a2)⋅φ(b1,b2)\varphi((a_1,a_2)(b_1,b_2))=\varphi(a_1,a_2)·\varphi(b_1,b_2)φ((a1,a2)(b1,b2))=φ(a1,a2)⋅φ(b1,b2)
φ((a1,a2)(b1,b2))=φ((a1b1,a2b2))=(a2b2,a1b1)=(a2,a1)(b2,b1)=φ(a1,a2)⋅φ(b1,b2)\varphi((a_1,a_2)(b_1,b_2))\\=\varphi((a_1b_1,a_2b_2))\\=(a_2b_2,a_1b_1)\\=(a_2,a_1)(b_2,b_1)\\=\varphi(a_1,a_2)·\varphi(b_1,b_2)φ((a1,a2)(b1,b2))=φ((a1b1,a2b2))=(a2b2,a1b1)=(a2,a1)(b2,b1)=φ(a1,a2)⋅φ(b1,b2)
一一对应（单射+满射）：通过定义可以得出一一对应

性质2：G1,G2G_1,G_2G1,G2是群，a,ba,ba,b分别是G1、G2G_1、G_2G1、G2中的有限阶元素，则对于(a,b)∈G1(a,b)\in G_1(a,b)∈G1 x G2G_2G2，有ord(a,b)=[orda,ordb]ord(a,b)=[orda,ordb]ord(a,b)=[orda,ordb]
证明：
设orda=m,ordb=n,[m,n]=s,orda=m,ordb=n,[m,n]=s,orda=m,ordb=n,[m,n]=s,则(a,b)s=(as,bs)=(e1,e2)(a,b)^s=(a^s,b^s)=(e_1,e_2)(a,b)s=(as,bs)=(e1,e2)
现在假设ord(a,b)=t,ord(a,b)=t,ord(a,b)=t,则t∣st\mid st∣s
(e1,e2)=(a,b)t=(at,bt)→m∣t,n∣t→t(e_1,e_2)=(a,b)^t=(a^t,b^t)\rightarrow m\mid t,n\mid t\rightarrow t(e1,e2)=(a,b)t=(at,bt)→m∣t,n∣t→t是m、nm、nm、n的公倍数→[m,n]∣t,\rightarrow [m,n]\mid t,→[m,n]∣t,即s∣ts\mid ts∣t
故t=st=st=s

性质3：G1、G2G_1、G_2G1、G2分别是mmm阶、nnn阶的循环群，G1G_1G1 x G2G_2G2是循环群↔(m,n)=1\leftrightarrow (m,n)=1↔(m,n)=1
证明：

G1、G2G_1、G_2G1、G2分别是mmm阶、nnn阶的循环群，G1G_1G1 x G2G_2G2是循环群→(m,n)=1\rightarrow (m,n)=1→(m,n)=1
设G1=<a>,G2=<b>，G_1=<a>,G_2=<b>，G1=<a>,G2=<b>，假设G=G1G=G_1G=G1 x G2G_2G2是循环群，且(m,n)=t≠1(m,n)=t\neq 1(m,n)=t=1，有orda=m,ordb=n,→am=e1,bn=e2→(am/t)t=e1,(bn/t)t=e2→\\orda=m,ordb=n,\\\rightarrow a^m=e_{1},b^n=e_{2}\\\rightarrow (a^{m/t})^t=e_{1},(b^{n/t})^t=e_{2}\\\rightarroworda=m,ordb=n,→am=e1,bn=e2→(am/t)t=e1,(bn/t)t=e2→ 所以<(am/t,e2)>,<(e1,bn/t)><(a^{m/t},e_2)>,<(e_1,b^{n/t})><(am/t,e2)>,<(e1,bn/t)>是G=G1G=G_1G=G1 x G2G_2G2两个不同的ttt阶子群；又因为对于循环群GGG，子群都是循环群，循环群的两个同阶子群，一定是相同的，所以产生矛盾，故→(m,n)=1\\\rightarrow(m,n)=1→(m,n)=1
证明：
- G=<a>,∣G∣=n,G=<a>,|G|=n,G=<a>,∣G∣=n,
- ∃H≤G,H=<ad>,d∣n,∣H∣=D,{\exists}H\le G,H=<a^d>,d\mid n,|H|=D,∃H≤G,H=<ad>,d∣n,∣H∣=D,因为ordm(ak)=ordm(a)(ordm(a),k)ord_m(a^k)=\frac{ord_m(a)}{(ord_m(a),k)}ordm(ak)=(ordm(a),k)ordm(a)，所以D=n(n,d)=ndD=\frac{n}{(n,d)}=\frac{n}{d}D=(n,d)n=dn
- ∃K≤G,K=<ak>,∣K∣=D=nd{\exists}K\le G,K=<a^k>,|K|=D=\frac{n}{d}∃K≤G,K=<ak>,∣K∣=D=dn,同理因为ordm(ak)=ordm(a)(ordm(a),k)ord_m(a^k)=\frac{ord_m(a)}{(ord_m(a),k)}ordm(ak)=(ordm(a),k)ordm(a)，所以D=n(n,k)→(n,k)=d→d∣k→<ak>≤<ad>,D=\frac{n}{(n,k)}\rightarrow (n,k)=d\rightarrow d\mid k\rightarrow <a^k>\le <a^d>,D=(n,k)n→(n,k)=d→d∣k→<ak>≤<ad>,又因为∣<ad>∣=∣<ak>∣,|<a^d>|=|<a^k>|,∣<ad>∣=∣<ak>∣,即两个子群元素个数相同，所以两个子群相同。
G1、G2G_1、G_2G1、G2分别是mmm阶、nnn阶的循环群，(m,n)=1→G1(m,n)=1\rightarrow G_1(m,n)=1→G1 x G2G_2G2是循环群
(m,n)=1,→ord(a,b)=[m,n]=mn=∣G1∣⋅∣G2∣=∣G1(m,n)=1,\\\rightarrow ord(a,b)=[m,n]=mn=|G_1|·|G_2|=|G_1(m,n)=1,→ord(a,b)=[m,n]=mn=∣G1∣⋅∣G2∣=∣G1 x G2∣G_2|G2∣
所以(a,b)(a,b)(a,b)是G1G_1G1 x G2G_2G2的生成元→G1\rightarrow G_1→G1 x G2G_2G2是循环群

近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？相关推荐

近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子
近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子设GGG为有限交换群,∣G∣=n=pm,p|G|=n=pm,p∣G∣=n=pm,p为素数,∃a∈G,{\exists}a\in G,∃a∈G,使得 ...
近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子
近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子设GGG为有限交换群,∣G∣=n,∀m∣n,∃H≤G,|G|=n,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,∣G∣=n,∀m∣ ...
6阶子群同构于s3或者z6_浙江省月自考近世代数试卷
近世代数试题一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分. 1.设A=B=R(实数 ...
近世代数--内外直积--本质是一样的
近世代数--内外直积--本质是一样的博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. 如果群G ...
群同态基本定理证明_近世代数(3)——群的基本性质
参考教材 <近世代数>.丘维声著 <近世代数>.韩士安著 <Algebra>.Artin著 <代数学引论>.聂灵沼.丁石孙著前言上节我们引入了循环群 ...
近世代数--置换群--判断置换的奇偶性
近世代数--置换群--判断置换的奇偶性置换奇偶性定义置换分解成轮换的结果是唯一的,置换分解成对换的结果不唯一证明置换轮换的等价式置换分解成对换的奇偶性博主是初学近世代数(群环域),本意是想整 ...
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？
近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群? 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:近世代数,方便检索. ...
近世代数--特征--环的特征，域的特征
近世代数--特征--环的特征,域的特征环的特征域的特征整环的特征是0或者是一整数域的特征博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错, ...
用c语言a的n次再取p的余数,近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分. 1.设A ＝B ＝ ...

近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？

近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？

近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？相关推荐

最新文章

热门文章