近世代数笔记和题型连载第七章（阿贝尔群和循环群）

文章目录

基础概念
- 1.阿贝尔群
- 2.循环群
- 3.有限循环群
- 4.元素的阶
- 5.无限循环群
相关题型
- 1.判断一个代数系统的代数结构
- 2.判定一个群是否是循环群
- 3.判定一个群是否是循环群
- 4.循环群的生成元有关问题
- 5.判定元素的阶
- 6.判定元素的阶
- 7.判定元素的阶
- 8.求给定循环群的所有子群
- 9.求给定循环群的所有子群
- 10.生成元的个数计算
- 11.求一个循环群的所有生成元
- 12.求一个循环群的所有生成元
- 13.较难的证明题

基础概念

1.阿贝尔群

阿贝尔群的定义：如果群<G,※>中的运算是可交换的，那么就称这个群为阿贝尔群，也被称为交换群。

阿贝尔群的性质（判定）：设<G,※>是一个群，那么<G,※>是阿贝尔群的充要条件是对于G中的任意两个元素a和b，都有(a※b)※(a※b)=(a※a)※(b※b)。

2.循环群

循环群的定义：若<G,※>为群，如果G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，那么称该群为循环群，而元素a被称为该循环群的生成元。

生成元的唯一性：一个循环群中的生成元可以不唯一。

循环群的与阿贝尔群的关系：循环群一定是阿贝尔群。

循环群的性质：

循环群的子群也是循环群。
如果一个循环群的阶数是无限阶，那么它的子群中除了{e}之外的也都是无限阶的。
如果一个循环群是n阶的，那么该循环群的子群的阶数是n的因子，且对于每一个正因子，有且只有一个该因子阶的子群。如果该循环群的生成元是a且阶数为n，子循环群的阶数是d，那么子循环群中的生成元是a的n/d次幂。

生成元的性质：

个数性质：对于一个循环群<G,※>，如果群的阶数有限且为n，那么G中一共有f(n)个生成元。其中f(n)表示对n使用欧拉函数，得到的结果是小于n且与n互素的正整数个数。
值性质：循环群中的每一个生成元都可以表示为最小生成元的幂的形式。如果一个循环群的阶数为n，那么每一个生成元都可以表示为最小生成元的x次幂，其中x是小于n且与n互素的正整数。

3.有限循环群

有限循环群的阶数：有限循环群是指由一个元素a生成的循环群，如果生成元a的n次幂等于幺元，那么就称该循环群是n阶的。

4.元素的阶

元素的阶的定义：假设a是G中的一个元素，如果存在一个正整数K，使得a^k=e，使得这个等式成立的最小正整数称为元素a的阶或元素a的周期，并称a是有限阶的元素。

有限循环群的阶和元素的阶：有限循环群的生成元的阶数就是群的阶数，也是该有限循环群中元素的个数。

元素的阶的性质：

倍数性质：一个元素的K次幂等于幺元，那么K一定是这个元素的阶的倍数。
逆元同阶：一个元素的阶与其逆元的阶相等。
元素的阶小于群的阶：一个元素的阶一定小于其所在的群的阶数。

5.无限循环群

无限循环群定义：如果一个生成元的阶数无限大，那么其所在的群被称为无限循环群，且该群中只存在该元素及其逆元两个生成元。