参考教材

• 《近世代数》.丘维声著
• 《近世代数》.韩士安著
• 《Algebra》.Artin著
• 《代数学引论》.聂灵沼.丁石孙著

前言

上节我们引入了循环群的概念,并且为了分类循环群,我们将在本文引入同构的概念,同构是一个非常强的条件,它的引入将使我们研究群更加的简单,对于复杂抽象的群我们只需要去解剖跟它同构的简单直观的群即可.换言之,这两个群具有相同的结构.

我将按照我自己学习的理解去编排内容,在讲解以后更深的群论内容时可以更加的自然且有动机,我也尽力去通过自己的理解去一步步讨论,让概念的引入更加的自然和富有动机,以下是目录(括号内是一些有趣或重要的定理方便指引).

目录

1. 群同构
2. n元对称群
3. 子群(Cayley定理)
4. 陪集(Lagrange定理)
5. 群同态
6. 正规子群
7. 商群
8. 群同态基本定理

1.群同构

定义:

设

例:数域

例:

例:任意一个无限群与

例:对于

例:

注:

• 具体的证明只需要按照定义,证明其是映射,单射,双射,满足结构即可.
• 群同构是一个等价关系,我们通过同构将所有循环群组成的集合进行了划分,对于一般的循环群或许会很抽象,但是对于
  和
  ,确实非常具体且容易理解的.

定理:

设

3. 是可逆映射,其可逆映射
   也是
   到
   的同构映射

证:

(1)对任意的

两边右乘

(2)对任意的

两边右乘

(3)因为

我们研究了

定义:

群到自身的同构成为自同构

通过这个定义,很自然的想到对于一个群

观察自同构群的定义可以发现这些条件还是很苛刻的,即要求对象是群还要是同构映射,倘若我们放宽限制,考虑一个非空集合

全变换群,记作

置换,为了方便起见,我们可以将集合

元对称群,记作

于是我们从群同构自然而然的引出了下面一节的内容.

2.n元对称群

设

例:

可以从这个例子中发现

通过观察

轮换,假设轮换的元素有r个就记成r-轮换,例如

特别情况,2-轮换称为对换,即只有2个元素相互置换.例如

注:

2. 是非Abel群
3. 不相交的轮换可以交换

下面的内容将具体的阐述

例(

当初伽罗瓦的想法出发点就是方程根的置换群,它保持根之间关系式不变.

举个简单例子,考虑一元二次方程

对称群还可以和几何图形,以及矩阵联系起来.下面将举

例(

与几何图形的联系):考虑正三角形,记

可以发现这个群一一对应了

例(

依旧考虑

例(

回忆高代中,引出行列式概念之前有排序的概念,其中当逆序为奇数时取-1,偶数时取1,这本质上也是对称群在其中起作用.

奇(偶)置换的第一种定义:

当一个置换可以表示成偶数个对换的乘积时,称为偶置换,当一个置换可以表示成奇数个对换的乘积时,称为奇置换.

奇(偶)置换的第二种定义:

设

注:

1. 全体偶置换构成一个群,记作
   .

与行列式的联系在引入群同态后的群的同态定理下有更深刻的理解.

3.子群

定义:

如果群

例:

例:

例:

例(平凡子群):

例:

有了子群的概念我们可以结合之前的群同构去理解Cayley定理

Cayley定理：

任何群都同构于某集合上的变换群.

证:

设

首先存在单位变换

其次

因此所有集合

又因为

并且还满足

注:

1. 变换群
   称为群
   的左正则表示,变换
   称为元素
   在
   上引起左平移,同样也有右平移的定义.
2. 当
   是有限群时,
   和
   都是
   的子群
3. 任意有限群都同构于对称群的子群

考虑子群

反过来若

定理:

现在设

4.陪集

子群的陪集概念是对群结构进行解剖的有力工具,为之后引出正规子群和正规子群和商群.

定义:

设

显然

例:在群

1. 子群
   的左陪集只有三个
   ,并且这三个左陪集并等于群
2. 所有的左陪集要么相等,要么一个元素都不相同
3. 刚好等于左陪集个数(3)与元素个数(2)乘积

因此有如下几个问题:

1. (对于第一二条发现)会不会存在不相等且交不为空集的左陪集?
2. (对于第三条发现)是否每一个群都可以有这三条现象存在?

讨论问题一:

定理:

设

证:

设

于是我们得到

通过引入陪集的概念我们将群

指数,记作

讨论问题二:

Lagrange定理:

设

证明结合上文子群

注:

1. 是
   的因子
2. 中每个元素的阶一定是
   的因子,即
3. 为素数时
   为循环群

Lagrange定理揭示了子群重要的性质,例如当我们知道

问题:四阶群的所有同构类

情况一:当

情况二:当

因为

Klein群

为了引入正规子群和商群,我们要重新把目光集中在映射上,群同构既要满足双射又要满足结构,这个条件太强了,当我们只考虑结构时,放宽的条件或许会有更多的性质可以发现,因此我们引入群同态

5.群同态

定义:

设

例:

例:

这个例子揭示了行列式逆序数个数与正负号的关系,它本质是

下面介绍两个非常重要的集合

设

同态

同态

注:

1. ,则
   为满同态
2. 则
   为单同态

考虑

6.正规子群

定义:

设

上述定义可以改写为

例:

例:

例:

例:

命题:

设

正规子群对于研究群结构起重要的作用,我们扩大陪集的范围,考虑群

如果

定理:

证:

必要性:

充分性:

注:

1. 表明陪集的乘法实际上是陪集代表的乘法
2. 为单位元
3. 有逆元

正规子群构造的左(右)陪集所组成的集合在乘法下构成群

7.商群

定义:

在陪集乘法下的群称为

注:

1. 商群实质上是群
   被其正规子群
   划分成一系列不相同陪集的集合,这些陪集在乘法下构成群.
2. 一般的子群也能将
   划分但是只有正规子群不需要区分左陪集或右陪集.
3. 当
   为有限群时,

例:

例:

证:

设

可以得到有9个元素,但是

商群的研究能简化我们对群的理解,因为它是由正规子群的陪集组成,与原来群之间存在相似的属性,同时商群还会比原来的群更加的简单,下面的自然同态就是搭建群

自然同态:

注:

3. 同态的核是正规子群,正规子群是某一个同态的核
4. 自然同态是满同态

自然同态是一个跳板,最终达到本章节的集大成部分——群同态基本定理,它包含了我们之前所学的所有知识.

8.群同态基本定理

设

证:

设

设存在一个映射

因为

因此

例:

例:

例:设

注:群同态是研究群结构的主线,以后验证这类问题只需要建立一个合适的满同态,然后求其核,最后根据群同态基本定理,我们只需要了解

后记:

本篇文章只是为了了解概念和知识为目的,对于许多题目的讲解不太重视,而且这篇内容是群的基本知识,还是有很多疑问存在,很明显的就是Lagrange定理告诉我们12阶群的子群只有1,2,3,4,6,12这6个,但我们通过证明发现