矩阵知识：矩阵乘法、单位矩阵、数量矩阵、初等矩阵、行等价

一、从高斯消元法到矩阵乘法：

1.1 高斯消元法

假设存在如下的方程：

将方程化为如下的形式是高斯消元法的目标：
{ R = ? G = ? B = ? \begin{cases} R=?\\G=?\\B=? \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧R=?G=?B=?

思路：
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一个元素：

接着利用第二行消去第三行的第二个元素：

接着反过来，用第三行消去第一行和第二行的第三个元素：

接着用第二行消去第一行的第二个元素：

最后达到目标：

1.2 用增广矩阵描述高斯消元法

假设方程为：

则增广矩阵为：

整个过程可以描述为：

1.3 利用矩阵乘法：

上述过程的第一次运算用矩阵乘法可以描述为：

多行乘法：

这一步实际表达了两个过程：

第一行不变： r 1 ′ = r 1 r_1'=r_1 r1′=r1
第二行改变： r 2 ′ = r 2 − 3 r 1 r_2'=r_2-3r_1 r2′=r2−3r1

用矩阵乘法则表示为：

所以利用矩阵乘法，整个高斯消元法就可以表示如下：

https://www.matongxue.com/madocs/755.html

二、如何理解矩阵乘法：

一个正确的观点是将矩阵看成是函数，这样很多疑惑就可以迎刃而解。

2.1 矩阵是一个函数：

直线函数与矩阵：
我们熟悉的直线函数 a x = y ax=y ax=y把 ( x , 0 ) (x,0) (x,0)点映射到 ( 0 , a x ) (0,ax) (0,ax)点：

我们通过矩阵 A x → = y → A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y} Ax =y 也可以完成这个映射，令：
A = ( 0 1 a 0 ) A=\begin{pmatrix} 0&1\\a&0 \end{pmatrix} A=(0a10)
则：

矩阵的优点：
对于 a x = y , x ∈ R , y ∈ R ax=y,x\in R,y\in R ax=y,x∈R,y∈R只能完成从实数到实数的映射：
x → y ⟹ R → R x\to y\implies R\to R x→y⟹R→R
但是： A x → = y → , x → ∈ R n , y → ∈ R m A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}\in R^n,\overrightarrow{y}\in R^m Ax =y ,x ∈Rn,y ∈Rm可以完成更广泛的映射：
x → → y → ⟹ R n → R m \overrightarrow{x}\to \overrightarrow{y}\implies R^n\to R^m x →y ⟹Rn→Rm
为了完成这点，矩阵 A A A就不再是系数a了，而是一个函数（或者说是映射）
假设 x → \overrightarrow{x} x 所在平面为 v v v，而 y → \overrightarrow{y} y 所在平面为 W W W， x → \overrightarrow{x} x 通过矩阵 A A A映射到了 y → \overrightarrow{y} y ，可以如下表示：

A这个映射的特别之处是，V上的直线通过A映射到W上依然是直线，所以矩阵也被称为线性映射。

2.2 矩阵作为函数的工作方式：

将之前表示线性映射的3D图变为2D图：

为了绘图方便， x → \overrightarrow{x} x 所在平面V， y → \overrightarrow{y} y 所在平面W，都是二维平面，即 R 2 R^2 R2

坐标：
研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下，首先看：

x → \overrightarrow{x} x , y → \overrightarrow{y} y 的基默认为各自空间向量空间下的自然基，其自然基为（即 R 2 R^2 R2下的自然基）：

所以可以得到：

如下图所示：

映射法则的工作原理：
为了说清映射法则A是怎么工作的，将A用一个空间表示，V会通过A映射到W：
设： A = ( c 1 → c 2 → ) A=(\overrightarrow{c_1}\quad\overrightarrow{c_2}) A=(c1 c2 )
整个映射过程如下所示：

根据矩阵乘法的规则可以得到（可以理解为 c 1 → , c 2 → \overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2} c1 ,c2 两个向量的一个线性组合）：

则 A x → A\overrightarrow{x} Ax 相当于在A空间中，以 c 1 → , c 2 → \overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2} c1 ,c2 为基，坐标为 ( x 1 x 2 ) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} (x1x2)的向量：

再将 A x → A\overrightarrow{x} Ax 向量用自然基表示：

整体来说，就是基改变，导致向量的坐标发生改变：

注意矩阵乘法不满足交换律
https://www.matongxue.com/madocs/555.html

2.3 矩阵运算所满足的定律

A + B = B + A （加法交换律） A+B=B+A（加法交换律） A+B=B+A（加法交换律）
A + （ B + C ） = （ A + B ） + C （加法结合律） A+（B+C）=（A+B）+C（加法结合律） A+（B+C）=（A+B）+C（加法结合律）
A ∗ （ B ∗ C ） = （ A ∗ B ） ∗ C （乘法结合律） A *（B * C）=（A*B）*C（乘法结合律） A∗（B∗C）=（A∗B）∗C（乘法结合律）
A ∗ （ B + C ） = A ∗ B + A ∗ C （分配律） A*（B+C）=A*B+A*C（分配律） A∗（B+C）=A∗B+A∗C（分配律）
k ∗ （ A + B ） = k ∗ A + k ∗ B k*（A+B）=k*A+k*B k∗（A+B）=k∗A+k∗B
( A + B ) ∗ C = A ∗ C + B ∗ C 9 （分配律） (A+B)*C=A*C+B*C9（分配律） (A+B)∗C=A∗C+B∗C9（分配律）
A ∗ I = I ∗ A = A （单位矩阵的乘法属性） A*I=I*A=A（单位矩阵的乘法属性） A∗I=I∗A=A（单位矩阵的乘法属性）

注意上面所有的+都可以替换为-

三、数量矩阵&单位矩阵

3.1 单位矩阵

主对角线上的数字都是1，其余都是0的矩阵称为单位矩阵，即：
( 1 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 1 ) \begin{pmatrix}1&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&1\end{pmatrix} ⎝⎜⎛1⋮0…⋱…0⋮1⎠⎟⎞

3.2 数量矩阵

设I是单位矩阵，k是任何数，则kE称为数量矩阵，即：
k E = ( k … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … k ) kE=\begin{pmatrix}k&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&k\end{pmatrix} kE=⎝⎜⎛k⋮0…⋱…0⋮k⎠⎟⎞

四、初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

五、行等价

A和B行等价，就是说A经过若干次初等行变换可以变成B