矩阵A对任意的可逆矩阵p都有Ap=pA，证明A为数量矩阵

思路：由于p为任意可逆矩阵，范围较大不便于研究，我们可从最简单的可逆矩阵E（i，j），E（i（k）），E（i，j（k））入手（下面证明只需用前两种初等矩阵）
从初等矩阵入手，是因为任意可逆矩阵p都能化为一些初等矩阵之积
基础知识：
左乘一个初等矩阵相当于做行变换，右乘一个初等矩阵相当于做列变换

证明：
设B=Ap，C=pA
1<=i<j<=n ，当p为E（i，j）时
bii=aij，cii=aji，推出A为对称矩阵
Bij=aii，Cij=ajj
Bij=Cij
由i，j的任意性
可推a11=…=ann
B[(i,j+1),…,(i,n)]=(ai（j+1），…，ain)
C[(j,j+1),…,(j,n)]=(aj（j+1），…，ajn)
因为B[j+1,…,n]= C[j+1,…,n]
又因为i，j的任意性
可推
i<j，aij=akj，1<=kj，aij=aik，1<=k<i
因为A为对称矩阵
所以有aij=jk，1<i，k<j

1<=i<=n ，当p为E（i（k））时
为了便于计算，将k设为-1
B[(i,1),…,(i,i)]=-(ai1，…，aii)
C[(1,i),…,(i,i)]=(a1i，…，aii)
ai1=-a1i
…
ai（i-1）=- a（i-1）i
A为对称矩阵，ai1=a1i
由i的任意性
可推aij=0，i！=j

综上可得
p为前两种初等矩阵时，A为数量矩阵
将p扩大到任意可逆矩阵
满足条件的矩阵A一定是数量矩阵
但A不一定包含所有数量矩阵
于是将A=k·I代入原式
发现任意数量矩阵都满足原式
所以A包含任意数量矩阵
综上所述
A为任意数量矩阵

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