Agenda

1. 矩阵matrix
- 1.1 矩阵运算matrix operations
- - 1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication
  - - 1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilitate computation)的方式：分块(block multiplication)
  - 1.1.2 矩阵运算的一些性质some propoerties of matrix operations
  - 1.1.3 矩阵的逆inverse of a matrix
  - - 1.1.3.1 矩阵的逆的性质
    - 1.1.3.2 如何计算矩阵的逆
  - 1.1.4 矩阵的转置transpose
- 1.2 行列式determinants
- - 1.2.1 如何计算行列式
  - 1.2.2 行列式的性质
- 1.3 伴随矩阵adjoint of a matrix
- - 1.3.1 如何求伴随矩阵
  - 1.3.2 用伴随矩阵求矩阵的逆
- 1.4 相似矩阵similar matrix
- 1.5 实对称矩阵real symmetric matrix

1. 矩阵matrix

1.1 矩阵运算matrix operations

1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication

这个也是我们非常熟悉的，矩阵A和B相乘要求A的列数等于B的行数。

1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilitate computation)的方式：分块(block multiplication)

1.1.2 矩阵运算的一些性质some propoerties of matrix operations

分配律distributive law: A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC
结合律associative law: A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C
交换律commutative law❌

1.1.3 矩阵的逆inverse of a matrix

1.1.3.1 矩阵的逆的性质

唯一性unique：矩阵的逆如果存在的话，就一定是唯一的。
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1：这个proposition是经常遇到的。注意这里的矩阵都是方阵，并且假设他们都是可逆的。

1.1.3.2 如何计算矩阵的逆

一般求矩阵的逆有以下几种方法：

根据定义，可以假设矩阵的逆的元素，然后去求解矩阵的逆中的元素。
初等变换法：如果要求A的逆矩阵，可以写成[A∣B][A|B][A∣B]的形式，然后对这个新的矩阵作初等行变换。目标是将A变换成单位阵，然后B最后经过初等变换后得到的C就是矩阵A的逆矩阵。有三种初等变换法
– 某一行乘以一个非0的常数
– 任意两行交换
– 某一行+其他行乘以一个非0常数
初等变换法为什么work？首先初等变换矩阵都是可逆的，我们可以写一个很简单的式子来证明为什么C是A的逆矩阵。假设我们经过E1,E2.E3E_1,E_2.E_3E1,E2.E3这三个初等变换矩阵，A变成了单位阵，那么有E3E2E1A=IE_3E_2E_1A=IE3E2E1A=I，那么A的逆就是E3E2E1E_3E_2E_1E3E2E1,所以CCC是AAA的逆矩阵。
伴随矩阵法：

1.1.4 矩阵的转置transpose

我们都知道矩阵的转置是将矩阵的行列互换。矩阵的转置有以下的性质

(A+B)′=A′+B′(A+B)^{'}=A^{'}+B^{'}(A+B)′=A′+B′
(cA)−1=cA−1(cA)^{-1}=cA^{-1}(cA)−1=cA−1
(AB)′=B′A′(AB)^{'}=B^{'}A^{'}(AB)′=B′A′
(A′)′=A(A^{'})^{'}=A(A′)′=A

1.2 行列式determinants

注意行列式的概念是基于矩阵是方阵的基础上。

1.2.1 如何计算行列式

（在找工作面试或者笔试的环节，都有一些行列式计算的题。所以这部分要引起重视。）
行列式的计算主要涉及到的是代数余子式的概念，代数余子式的定义是(−1)i+j∣Mi,j∣(-1)^{i+j}|M_{i,j}|(−1)i+j∣Mi,j∣,余子式Mi,jM_{i,j}Mi,j也就是原来的行列式划掉第i行和第j列的数据剩下的矩阵。注意代数余子式的符号(−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j.

1.2.2 行列式的性质

行列式也有一些性质：

主要是涉及到初等变换的：
– 两行交换后的行列式需要✖️（-1）
– 一行+c*另外一行，这样行列式不变
– 一行乘以非0倍，这样行列式还是不变
方阵可逆的充分必要条件就是行列式非0
det(AB)=det(A)det(B)
若A可逆的话，det(A−1)=1det(A)det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}det(A−1)=det(A)1
det(A)=det(A′A^{'}A′)

1.3 伴随矩阵adjoint of a matrix

1.3.1 如何求伴随矩阵

伴随矩阵的定义是adj(A)的第i行第j的元素等于(−1)i+jdet(Aj,i)(-1)^{i+j}det(A_{j,i})(−1)i+jdet(Aj,i)，这里的Aj,iA_{j,i}Aj,i是crossing out 第j行和第i列的数据以后，得到的矩阵。

1.3.2 用伴随矩阵求矩阵的逆

伴随矩阵其实和矩阵的逆是有很大关系的。之前我们在总结求矩阵逆的方法的时候，最后一条是通过伴随矩阵，用数学表达式的方式写出来就是A−1=adjAdet(A)A^{-1}=\frac{adj A}{det(A)}A−1=det(A)adjA.

那么为什么求就是A的逆矩阵呢?
可以用一个小例子来帮助大家理解。假如对于一个3*3的矩阵来说

1.4 相似矩阵similar matrix

我们称方阵A和方阵B互为相似矩阵，如果P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B, 其中P是可逆矩阵。

相似矩阵的性质：

相似矩阵有相同的rank,determinant，eigenvalues and eigenvectors

1.5 实对称矩阵real symmetric matrix

其实对于实对称矩阵，我们应该都知道它的定义是A=A′A=A^{'}A=A′, 这个非常简单。但是重点在于它的一些其他的性质。

谱分解：如果矩阵A是实对称矩阵，那么有A=QΛQ′A=Q\Lambda Q^{'}A=QΛQ′.
这个其实大家可以理解着记忆，为什么可以写成这样的形式。首先对于任意一个矩阵，经过初等行变换以后都可以整理成一个上对角阵，比如经过这一系列的初等行变换以后就相当于左乘一个(Q−1)′(Q^{-1})^{'}(Q−1)′, 因为A是实对称矩阵，我们可以对列进行同样的操作，使得上对角矩阵编程一个对角矩阵，对列进行初等列变换相当于A右乘Q−1Q^{-1}Q−1,最后我们有Q′AQ=ΛQ^{'}AQ=\LambdaQ′AQ=Λ, 再整理一下就是A=Q′ΛQA=Q^{'} \Lambda QA=Q′ΛQ. 并且我们有QQ−1=IQQ^{-1}=IQQ−1=I
如果A是实对称矩阵并且是半正定矩阵，那么就可以写成A=UU′A=UU^{'}A=UU′.
这个也可以理解着记忆。因为对于一个实对称矩阵来说，我们已经可以写成A=QΛQ′A=Q\Lambda Q^{'}A=QΛQ′，如果A还是一个半对称矩阵，也就说明Λ\LambdaΛ对角线的元素大于或者等于0，那么Λ=CC′\Lambda=CC^{'}Λ=CC′, 最后可以整理成A=QCC′Q′=QC(QC)′=UU′A=QCC^{'}Q^{'}=QC(QC)^{'}=UU^{'}A=QCC′Q′=QC(QC)′=UU′.

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