多维Ellipse(椭球)形状与方程对应关系分析

一.多维Eliipse方程

$(x-x_0)^T\Sigma(x-x_0)=\sum_{i,j}{(x_i-x_{0i)}\Sigma_{ij}(x_j-x_{0j})}=c \\\ \ \ \ \ where\ x,x_0\in \mathbb{R}^{n*1} \ and\ \Sigma\in\mathbb{R}^{n*n}\ \ \ c\in\mathbb{R}$

二.正交左边系下的椭球形状分析

对于坐标中的椭球而言，中心，截距以及坐标中的方向唯一决定了一个椭球

2.1 特殊情况

当 $\Sigma$ 为对角矩阵时,方程变为 $\sum_{i}(x_i-x_{0i})^2\Sigma_{ii}=c$

比对平面椭圆方程，可知上述方程对应的椭球是以 $x_0$ 为中心，以 $\frac{1}{\Sigma_{ii}}$ 为各个基的截距的，方向不倾斜的椭球

2.2 一般情况

当 $\Sigma$ 不是对角矩阵时，椭球相对坐标基倾斜，此时的截距以及椭球方向需要做一些变换才能得到。

参考二维坐标下倾斜椭圆公式与变换，[参考]

我们发现，需要寻找一个旋转矩阵，将当前坐标系进行旋转，使得新的坐标系下 $\Sigma$ 变成对角矩阵，由此就可以轻松的得到截距，方向也可以由旋转矩阵得到。

现在，我们假设旋转矩阵为 $A$ ，这里要注意的是，我们只进行旋转而不进行坐标放缩，所以旋转矩阵是一个正交矩阵，有 $A^TA=I$ .

为了方便表述，我们令 $x_0=0$

此时，有 $y=Ax\\ x^T \Sigma x=y^T\Lambda y =x^TA^T\Lambda Ax\\ so\ \ \Sigma=A^T\Lambda A \ \ where \ A^TA=I\\ so \ \ \Sigma A^T=A^T\Lambda$

即 $A^T$ 的每一列都是 $\Sigma$ 的特征向量，对应的对角线元素为特征值

至此，我们可以得到，一般情况下，椭圆方程对应的椭球是以 $x_0$ 为中心，以 $\Sigma$ 的特征值的倒数为为各个基的截距的，以 $\Sigma$ 的特征向量组成的矩阵为旋转方向的椭球！

进一步的，如果存在0特征值，则该维度的椭球截距无穷大，椭球退化。

三，应用

1 多维高斯随机变量的等高线投影（相同马氏距离）为Eliipse，可由此直观可视化高斯概密。

2 多维线性回归问题，以平方差为损失函数时，损失函数等高线为Eliipse

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