三角形最小路径和(动态规划)

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题目描述

力扣120原题
给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：23 46 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104

进阶：

你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

分析

这道题是一道经典的动态规划的问题,但是其具体的处理方法有很多种,但是不同的方法空间和效率略有不同.

自顶向下的思考
自顶向下也是题目给的提示和要求,题目也很简单,自顶向下的时候需要进行层层计算,每层的第一个和最后一个需要特殊处理一下.计算的结果为该层该节点最小路径,正常位置的需要找到叠加到上层的最小路径(上层前一个位置和上层同位置的).

所以在具体实现上我们使用一个dp[][]的二维数组来存储,dp[i][j]表示第i行,第j个元素的最小路径值.所以状态转移方程为:

dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[0];//j=0的时候
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+arr[j];//0<j<i时候
dp[i][i]=dp[i-1][j-1]+arr[i];//j=i时候 因为上一层这个位置没有数字

计算完每个位置的最小路径之后,只需要在最底层找到最小那个路径值返回即可.

具体实现的代码为:

class Solution {public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {int len=triangle.size();int dp[][]=new int[len][len];dp[0][0]=triangle.get(0).get(0);for(int i=1;i<len;i++){dp[i][0]=dp[i-1][0]+triangle.get(i).get(0);//0号位置只能从上面来for(int j=1;j<i;j++){dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle.get(i).get(j);}dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+triangle.get(i).get(i);}int min=dp[len-1][0];for(int i=0;i<len;i++){// System.out.println(dp[len-1][i]);if(min>dp[len-1][i])min=dp[len-1][i];}return min;}
}

自底向上的方法
上面是按照自顶向上的方法,这里也可以使用自底向上的方法,反正都是一条最短路径,从上从下都一样.当然在这里我们dp[]只开一维即可,从下往上叠加的时候只需要找下面和下右面中较小的那个路径即可.

而从左向右每一层的遍历刚好可以使得空间复用,每一层核心状态转移方程为:

    dp[j]=triangle[i][j]+min(dp[j],dp[j+1]);  //第i层的状态转移方程

具体实现的代码为:

class Solution {public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {int len=triangle.size();int dp[]=new int [len+1];for(int i=len-1;i>=0;i--){for(int j=0;j<=i;j++){dp[j]=triangle.get(i).get(j)+Math.min(dp[j],dp[j+1]);}}return  dp[0];}
}

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