因数分解——Pollard' p-1 Pollard rho
分解因子
Pollard’s p-1 算法
Base concepts
- 对于一个想要分解因子的整数 n
- 如果我们可以找到一个与 n 不互质的整数 s ，则可直接通过求 gcd(s,n)gcd(s,n)gcd(s,n) 求得 n 的一个因子
- 这样的 sss 如何得到？
- 考虑到如下事实：
- 若 p 为 n 的一个素因子
- p未知，希望构造出一个含有因子 p 的数 s，则可通过求gcd(s,n)gcd(s,n)gcd(s,n)求得 n 的因子
- x≡1(modp)  ⟹  p∣gcd(x−1,n)x \equiv 1 \pmod p \implies p | gcd(x-1,n)x≡1(modp)⟹p∣gcd(x−1,n)
- 如何在只知道 n 的有限条件下得到这样的 x?
- 考虑 Fermat 小定理，必有2p−1≡1(modp)2^{p-1}\equiv 1\pmod p2p−1≡1(modp)
- 但 p 未知！
- 考虑构造一个(p−1)(p-1)(p−1)的倍数
- 假定对每一个素数幂 q∣(p−1)q|(p-1)q∣(p−1), 有q≤Bq\leq Bq≤B
- 则可得到(p−1)(p-1)(p−1)的一个倍数 B!B!B!
- 于是，x≡2B!(modn)x\equiv 2^{B!}\pmod nx≡2B!(modn)
- 由于p∣np|np∣n,有x≡2B!≡1(modp)x\equiv 2^{B!}\equiv 1\pmod px≡2B!≡1(modp)
- 依据：Fermat 小定理，(p−1)∣B!(p-1)|B!(p−1)∣B!
- 若 p 为 n 的一个素因子
- s=x−1s=x-1s=x−1
- d=gcd(s,n)d=gcd(s,n)d=gcd(s,n)即为nnn的一个非平凡因子（除非s=0）
Algorithm
Inputs #1: n: a composite number
Inputs #2: B: a smoothness bound
Outputs: a nontrivial factor of nnn or failure
Pollard p-1 Factoring Algorithm(n,B):
a←2B!(modn)a\leftarrow 2^{B!}\pmod na←2B!(modn)
d←gcd(a−1,n)d\leftarrow gcd(a-1,n)d←gcd(a−1,n)
if 1<d<n1<d<n1<d<n then return d
else return failure
Pollard ρ\rhoρ 算法
Base concepts
- 同样是希望找到一个 s， 然后通过求gcd(s,n)gcd(s,n)gcd(s,n)来求得因子
- 但 s 的求法不同
- 有如下事实：设 p 为 n 的最小素因子，假定存在2个整数x,x′∈Z,x,x'\in \mathbb{Z},x,x′∈Z,使得x≠x′x\neq x'x̸=x′且x≡x′(modp)x\equiv x'\pmod px≡x′(modp)
则p≤gcd(x−x′,n)<np\leq gcd(x-x',n)<np≤gcd(x−x′,n)<n，即为所需因子 - s 的获取关键在于x,x′x,x'x,x′的选取
- 有如下事实：设 p 为 n 的最小素因子，假定存在2个整数x,x′∈Z,x,x'\in \mathbb{Z},x,x′∈Z,使得x≠x′x\neq x'x̸=x′且x≡x′(modp)x\equiv x'\pmod px≡x′(modp)
- x,x′x,x'x,x′的选取？
- 假定通过先选择一个随机子集X∈ZnX\in \mathbb{Z}_nX∈Zn来分解n，然后对其中所有不同的x,x′x,x'x,x′计算gcd(x−x′,n)gcd(x-x',n)gcd(x−x′,n)，这个方法能成功当且仅当映射x↦smod  px\mapsto s \mod px↦smodp对于x∈Xx\in Xx∈X得到至少一个碰撞
- 根据生日悖论，如果∣X∣≈1.17p|X|\approx 1.17\sqrt p∣X∣≈1.17p,那么至少存在一个碰撞的概率为50%
- 但由于 p 未知，不能显示计算xmod  px \mod pxmodp，这意味着在找到 n 的一个因子前，需要计算超过(∣x∣2)>p2\binom{|x|}{2}>\frac{p}{2}(2∣x∣)>2p次gcd
- 假定通过先选择一个随机子集X∈ZnX\in \mathbb{Z}_nX∈Zn来分解n，然后对其中所有不同的x,x′x,x'x,x′计算gcd(x−x′,n)gcd(x-x',n)gcd(x−x′,n)，这个方法能成功当且仅当映射x↦smod  px\mapsto s \mod px↦smodp对于x∈Xx\in Xx∈X得到至少一个碰撞
- Pollard ρ\rhoρ 算法如何对这一技巧进行了优化
- 考虑一种“类似”随机映射x↦f(x)mod  nx\mapsto f(x)\mod nx↦f(x)modn，其中fff为一个具有整数系数的多项式
- 例如f(x)=x2+af(x)=x^2+af(x)=x2+a, 通常取a=1a=1a=1
- 设x1→Znx_1\rightarrow \mathbb{Z}_nx1→Zn，可得到序列x1,x2,...(xi+1=f(xi)mod  n)x_1,x_2,...\quad\quad (x_{i+1}=f(x_i)\mod n)x1,x2,...(xi+1=f(xi)modn)
- 在此序列中寻找xi,xjx_i,x_jxi,xj使得gcd(xj−xi,n)>1gcd(x_j-x_i,n)>1gcd(xj−xi,n)>1
- 每次计算序列中的一个新项xjx_jxj，要对所有i<ji<ji<j计算gcd(xj−xi,n)gcd(x_j-x_i,n)gcd(xj−xi,n)
- 然而，gcd计算次数可以大大减少
- 有如下事实：xi≡xj(modp)  ⟹  f(xi)≡f(xj)(modp)  ⟹  xi+1≡xj+1(modp)x_i\equiv x_j\pmod p \implies f(x_i)\equiv f(x_j)\pmod p\implies x_{i+1}\equiv x_{j+1}\pmod pxi≡xj(modp)⟹f(xi)≡f(xj)(modp)⟹xi+1≡xj+1(modp)
- 于是，如果(xi,xj)(x_i,x_j)(xi,xj)关于 p 同余，则(xi+1,xj+1),(xi+2,xj+2),(xi+3,xj+3)⋯(x_{i+1},x_{j+1}),(x_{i+2},x_{j+2}),(x_{i+3},x_{j+3})\cdots(xi+1,xj+1),(xi+2,xj+2),(xi+3,xj+3)⋯均关于 p 同余
- 为了简化和改进算法，通过取j=2ij=2ij=2i来寻找碰撞
- 因为不一定要找出这种类型的第一个碰撞
- 考虑一种“类似”随机映射x↦f(x)mod  nx\mapsto f(x)\mod nx↦f(x)modn，其中fff为一个具有整数系数的多项式
- 事实上，序列一定会从某处进入循环，因为 p 是一个有限数
- 用顶点集Zp\mathbb{Z}_pZp构造一个图 G，从点ximod  px_i \mod pximodp向点xi+1mod  px_{i+1} \mod pxi+1modp做一条有向边，可知 G 看起来像希腊字母ρ\rhoρ
- “尾巴”：x1mod  p→x2mod  p→⋯→ximod  px_1\mod p\to x_2\mod p\to \cdots\to x_i\mod p x1modp→x2modp→⋯→ximodp
- “环”：ximod  p→xi+1mod  p→⋯→xjmod  p=ximod  px_i\mod p\to x_{i+1}\mod p\to \cdots\to x_j \mod p=x_i\mod p ximodp→xi+1modp→⋯→xjmodp=ximodp
Algorithm
Input #1: n: a composite number
Input #2: x1x_1x1: the starting number
Output: a nontrivial factor of nnn or failure
Pollard ρ\rhoρ Factoring Algorithm(n,x1x_1x1)
external fff
x←x1;  x′←f(x)mod  n;  d=gcd(x−x′,n)x\leftarrow x_1;\;x'\leftarrow f(x)\mod n;\;d=gcd(x-x',n)x←x1;x′←f(x)modn;d=gcd(x−x′,n)
while p=1p=1p=1:
x←f(x)mod  nx\leftarrow f(x)\mod nx←f(x)modn
x′←f(x′)mod  n;  x′←f(x′)mod  nx'\leftarrow f(x')\mod n;\;x'\leftarrow f(x')\mod nx′←f(x′)modn;x′←f(x′)modn
d←gcd(x−x′,n)d\leftarrow gcd(x-x',n)d←gcd(x−x′,n)
if d=n then return failure
else return d
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