【概述】

整数分解目前仍是世界级难题，是非常重要的研究方向，其有很多种算法，性能上各有差异，本文仅介绍试除法、Fermat 算法、Pollard Rho 算法。

【试除法】

试除法也叫穷举法，是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法，但也是效率最低的算法。

试除法是用小于等于 n 的每个素数去试除待分解的整数，如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是待分解整数的因子。

试除法一定能够找到 n 的因子，因为它检查 n 的所有可能的因子，所以如果这个算法失败，也就证明了 n 是个素数，因此，试除法也常用来判断一个数是不是质数。

bool judge(int n)
{if(n==1)//1不是一个有效因数return false;for(int i=2;i<sqrt(n);i++)//如果能被整除，说明是因数if(n%i==0)retrun true;return false;
}

【Fermat 算法】

Fermat 算法分解大数的效率并不高，但比起试除法要好了很多，且每次计算都是计算出 N 的一个因子，更降低了其效率。

1.费马整数分解

对于一个任意的偶数，我们都可以通过不断提出为 2 的质因子使其最终简化为一个 2 的 n 次幂与一个奇数，因此，任意一个奇数都可以表示为：N=2*n+1

若这个奇数 N 是一个合数，根据唯一分解定理，其一定可以写成 N=c*d 的形式，不难发现，式中 c、d 均为奇数

设：c>d，令 a=(c+d)/2，b=(c-d)/2

可得：N=c*d=a*a-b*b

例如：

$\begin{matrix}1=1*1=1^2-0^2 \\3 = 3*1 = 2^2 -1^2 \\5 = 5*1 = 3^2 - 2^2 \\ 7 = 7*1 = 4^2 - 3^2 \\ 9 = 3*3 = 3^2 - 0^2 \end{matrix}$

2.费马因式分解算法

由于 $a^2-N\geqslant b^2\geqslant 0$

因此 $a^2\geqslant N$

即： $a\geqslant \sqrt{c*d}=\sqrt{N}$

因此，我们可以从 $a=\sqrt{N}$ 开始枚举，计算 $a^2-N$ 为完全平方数即可求出 a、b，从而可以求得：c=a+b，d=a-b(a>b)

int res[N];
void Fermat(int n)
{int a,b,temp;a=sqrt(n);if(a*a<n)a++;while(1)//y^2=x^2-n{temp=a*a-n;b=sqrt(a*a-n);if(b*b==temp)break;a++;}res[0]=a;//存储a的值res[1]=b;//存储b的值
}

【Pollard Rho 算法】

为进一步提高效率，解决因数太多无法存储的问题，我们有了 Pollard Rho 算法。

1.算法原理

其原理已知待分解的大整数 n，再通过某种方法得到两个整数 a、b，计算 $p=GCD(|a-b|,n)$ ，直到 p不为1，或 a、b 出现循环为止，然后再判断 p 的值，若 p=n 或 p=1，那么返回的 n 是一个质数，否则返回的 p 是 n 的一个因子，因此我们可以递归的计算 Pollard(p) 与 Pollard(n/p) ，从而求出 n 所有的因子。

实际操作中，我们通常使用函数： $x[i+1]=(x[i]*x[i]+c) mod\:n$ 来不断生成伪随机数，用于逐步迭代计算 a、b 的值。

实践中，常取 c=1，再任意取两初值 a、b，即： $b=a*a+1$ ，在下一次计算中，将 b 的值赋给 a，再次使用上式来计算新的 b 的值，直至 a、b 出现循环。

但是这样判断 a、b 的循环十分麻烦，例如生成伪随机数为：2，10，16，23，29，13，16，23，29，13...时，很难判断循环，因此我们可以采用 Floyd 判环算法来判断循环。

2.Floyd 判环算法实现Pollard Rho 算法

利用多项式 f(x) 迭代出 $x_0,x_1,...,x_k$ 的值，然后设定 x、y 的初值，选用多项式进行迭代

每次令： $\left\{\begin{matrix} x=f(x) \\ y=f(f(y)) \end{matrix}\right.$ ，即： $\left\{\begin{matrix}x=x_k \\ y=x_{2k} \end{matrix}\right.$

当 x=y 时即出现循环

int GCD(int a,int b)
{return b?GCD(b,a%b):a;
}int Pow_Mod(int a, int b, int m)
{int res=1;while(b){if(b&1)res=(res*a)%m;a=(a*a)%m;b>>=1;}
}long long pollard_rho(long long x, long long c)//寻找一个因子
{long long i=1,k=2;srand(time(NULL));long long x0=rand()%(x-1)+1;//产生随机数x0(并控制其范围在1 ~ x-1之间)long long y=x0;while(1){i++;x0=(Pow_Mod(x0,x0,x)+c)%x;long long gcd=GCD(y-x0,x);if(gcd!=1&&gcd!= x)return gcd;if(y==x0) return x;if(i==k){y=x0;k+=k;}}
}

3.存储大整数的所有因子

组合使用 Pollard Rho 算法与 Miller Rabin 算法，可求出大整数的所有因子。

LL Mult_Mod(LL a,LL b,LL m)//res=(a*b)%m
{a%=m;b%=m;LL res=0;while(b){if(b&1)res=(res+a)%m;a=(a<<=1)%m;b>>=1;}return res%m;
}
LL Pow_Mod(LL a, LL b, LL m)//res=(a^b)%m
{LL res=1;LL k=a;while(b){if((b&1))res=Mult_Mod(res,k,m)%m;k=Mult_Mod(k,k,m)%m;b>>=1;}return res%m;
}bool Witness(LL a,LL n,LL x,LL sum)
{LL judge=Pow_Mod(a,x,n);if(judge==n-1||judge==1)return 1;while(sum--){judge=Mult_Mod(judge,judge,n);if(judge==n-1)return 1;}return 0;
}bool Miller_Rabin(LL n)
{if(n<2)return 0;if(n==2)return 1;if((n&1)==0)return 0;LL x=n-1;LL sum=0;while(x%2==0){x>>=1;sum++;}int times=20;for(LL i=1;i<=times;i++){LL a=rand()%(n-1)+1;//取与p互质的整数aif(!Witness(a,n,x,sum))//费马小定理的随机数检验return 0;}return 1;
}
LL GCD(LL a,LL b)
{return b==0?a:GCD(b,a%b);
}
LL Pollard_Rho(LL n,LL c)//寻找一个因子
{LL i=1,k=2;LL x=rand()%n;//产生随机数x0(并控制其范围在1 ~ x-1之间)LL y=x;while(1){i++;x=(Mult_Mod(x,x,n)+c)%n;LL gcd=GCD(y-x,n);if(gcd<0)gcd=-gcd;if(gcd>1&&gcd<n)return gcd;if(y==x)return n;if(i==k){y=x;k<<=1;}}
}int total;//因子的个数
LL factor[N];//存储所有因子的数组，无序的
void Find_fac(LL n)//对n进行素因子分解，存入factor
{if(Miller_Rabin(n))//是素数就把这个素因子存起来{factor[++total]=n;return;}long long p=n;while(p>=n)//值变化，防止陷入死循环kp=Pollard_Rho(p,rand()%(n-1)+1);Find_fac(n/p);Find_fac(p);
}

【例题】

Prime Test（POJ-1811）(Pollard Rho 与 Miller Rabin 求大整数分解)：点击这里

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