题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/backpack-iv/description

给定一个数组AAA，代表每个物品的体积，题目保证AAA里的数全是正数并且没有重复。再给定一个容积mmm，问能塞满这个容积的物品组合的方案数。每个物品可以用无限次。

思路是动态规划。将一个方案与一个上升序列做一一对应，例如，某个方案是A[0]A[0]A[0]取222个，A[1]A[1]A[1]取111个，A[3]A[3]A[3]取222个，那么这个方案可以表示为(0,0,1,3,3)(0,0,1,3,3)(0,0,1,3,3)。也就是将选取的每个物品的下标做成一个单调增序列。设f[i][j]f[i][j]f[i][j]是只选A[0:i]A[0:i]A[0:i]的物品，要填满体积jjj的方案数。那么可以按照方案所对应的序列的最后一个数字做分类，如果最后一个数字恰好是iii，意思是这个方案包含A[i]A[i]A[i]，那么此时的方案数是f[i][j−A[i]]f[i][j-A[i]]f[i][j−A[i]]；如果最后一个数字不是iii，那么此时方案数是f[i−1][j]f[i-1][j]f[i−1][j]，所以有：f[i][j]=f[i][j−A[i]]+f[i−1][j]f[i][j]=f[i][j-A[i]]+f[i-1][j]f[i][j]=f[i][j−A[i]]+f[i−1][j]边界条件：f[0][j]={1,A[0]∣j0,A[0]∤jf[0][j]=\begin{cases} 1,A[0]|j\\0, A[0]\nmid j \end{cases}f[0][j]={1,A[0]∣j0,A[0]∤j注意到递推式，f[i]f[i]f[i]在更新的时候一定要按照jjj递增的顺序更新，因为f[i][j]f[i][j]f[i][j]是依赖f[i][j−A[i]]f[i][j-A[i]]f[i][j−A[i]]的。代码如下：

public class Solution {/*** @param nums: an integer array and all positive numbers, no duplicates* @param target: An integer* @return: An integer*/public int backPackIV(int[] nums, int target) {// write your code hereif (nums == null || nums.length == 0) {return 0;}int[][] dp = new int[nums.length][target + 1];for (int i = 0; i * nums[0] <= target; i++) {dp[0][i * nums[0]] = 1;}for (int i = 1; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j <= target; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if (j >= nums[i]) {dp[i][j] += dp[i][j - nums[i]];}}}return dp[nums.length - 1][target];}
}

时空复杂度O(lAm)O(l_Am)O(lAm)。

考虑空间优化。由于f[i][j]f[i][j]f[i][j]只依赖其正上方一行和其左边的值，所以可以考虑在更新的时候直接覆盖到原数组上。但是需要注意，一定要从左向右更新，因为f[i][j]f[i][j]f[i][j]是依赖f[i][j−A[i]]f[i][j-A[i]]f[i][j−A[i]]的。代码如下：

public class Solution {/*** @param nums: an integer array and all positive numbers, no duplicates* @param target: An integer* @return: An integer*/public int backPackIV(int[] nums, int target) {// write your code hereif (nums == null || nums.length == 0) {return 0;}int[] dp = new int[target + 1];for (int i = 0; i * nums[0] <= target; i++) {dp[i * nums[0]] = 1;}for (int i = 1; i < nums.length; i++) {// 按照j递增的顺序更新for (int j = 0; j <= target; j++) {if (j >= nums[i]) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}}return dp[target];}
}

时间复杂度不变，空间O(m)O(m)O(m)。

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【Lintcode】562. Backpack IV

题目地址：

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