题目地址：

http://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/description

0−10-10−1背包问题，AAA表示物品体积，VVV表示物品价值，背包容量为mmm，每个物品只能最多选一次，问在不超过背包容量的前提下，最多能装多大价值的物品。

思路是动态规划。设f[i][j]f[i][j]f[i][j]是从A[0:i]A[0:i]A[0:i]这些物品里取出若干总体积不超过jjj的物品的价值最大值。这个最大值有两种可能，要么包含物品iii，此时最大值是f[i−1][j−A[i]]+V[i]f[i-1][j-A[i]]+V[i]f[i−1][j−A[i]]+V[i]；要么不包含物品iii，此时最大值是f[i−1][j]f[i-1][j]f[i−1][j]。比较一下这两个最大值取大者，就是f[i][j]f[i][j]f[i][j]，即f[i][j]=max⁡{f[i−1][j−A[i]]+V[i],f[i−1][j]}f[i][j]=\max\{f[i-1][j-A[i]]+V[i],f[i-1][j]\}f[i][j]=max{f[i−1][j−A[i]]+V[i],f[i−1][j]}从上面的式子看出，更新顺序是，iii从小到大，jjj也是从小到大。代码如下：

public class Solution {/*** @param m: An integer m denotes the size of a backpack* @param A: Given n items with size A[i]* @param V: Given n items with value V[i]* @return: The maximum value*/public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {// write your code hereint[][] dp = new int[A.length][m + 1];// 考虑第0个物品，只有容量大于等于A[0]的时候才能放进去for (int i = A[0]; i <= m; i++) {dp[0][i] = V[0];}for (int i = 1; i < A.length; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if (j >= A[i]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - A[i]] + V[i]);}}}return dp[A.length - 1][m];}
}

时空复杂度O(lAm)O(l_Am)O(lAm)。

接下来考虑优化空间复杂度。可以看到，f[i][j]f[i][j]f[i][j]的值只取决于上一行正上方元素和上一行左边的元素，所以可以按行滚动做空间优化。每一行需要从右向左更新，否则的话更新到f[i][j]f[i][j]f[i][j]的时候，f[i−1][j−A[i]]f[i-1][j-A[i]]f[i−1][j−A[i]]已经被覆盖掉了，这个时候答案已经得不到了。具体代码如下：

import java.util.Arrays;public class Solution {/*** @param m: An integer m denotes the size of a backpack* @param A: Given n items with size A[i]* @param V: Given n items with value V[i]* @return: The maximum value*/public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {// write your code hereint[] dp = new int[m + 1];for (int i = A[0]; i <= m; i++) {dp[i] = V[0];}for (int i = 1; i < A.length; i++) {for (int j = m; j >= A[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - A[i]] + V[i]);}}return dp[m];}
}

时间复杂度不变，空间O(m)O(m)O(m)。

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