题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/1382/description

给定一个背包，容量sss，再给定nnn个物品，各自体积是c[i]c[i]c[i]，各自价值是v[i]v[i]v[i]。问在不超过背包容量的情况下，取物品的最大价值是多少。每个物品限取一次。数据中，容量sss和物品的体积和价值取值范围是1≤s,v[i],c[i]≤10131\le s,v[i],c[i]\le 10^{13}1≤s,v[i],c[i]≤1013，而1≤n≤311\le n\le 311≤n≤31。

直接用动态规划的话时间复杂度是O(ns)O(ns)O(ns)，会超时。这题需要用双向DFS来做，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/115587834。代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class Solution {long res;/*** @param s: The capacity of backpack* @param v: The value of goods* @param c: The capacity of goods* @return: The answer*/public long getMaxValue(int s, int[] v, int[] c) {// Write your code hereint n = v.length, k = n >> 1;List<long[]> comb1 = new ArrayList<>();// 求前半部分物品的所有组合的体积和价值dfs1(0, k, 0, 0, v, c, comb1, s);// 去重并优化comb1.sort((x, y) -> x[0] == y[0] ? Long.compare(x[1], y[1]) : Long.compare(x[0], y[0]));int j = 0;for (int i = 0; i < comb1.size(); i++) {int ii = i;while (ii < comb1.size() && comb1.get(ii)[0] == comb1.get(i)[0]) {ii++;}long[] item = comb1.get(ii - 1);if (j == 0 || item[1] > comb1.get(j - 1)[1]) {comb1.set(j++, item);}i = ii - 1;}// 去完重后，只需考虑不重复的前j个组合comb1 = comb1.subList(0, j);// 枚举后半部分的所有物品的组合，并且用二分求得体积少于s的最大总价值dfs2(k, n, 0, 0, v, c, comb1, s);return res;}void dfs1(int u, int k, long sv, long sc, int[] v, int[] c, List<long[]> comb1, int s) {if (u == k) {comb1.add(new long[]{sc, sv});return;}dfs1(u + 1, k, sv, sc, v, c, comb1, s);if (sc + c[u] <= s) {dfs1(u + 1, k, sv + v[u], sc + c[u], v, c, comb1, s);}}void dfs2(int u, int n, long sv, long sc, int[] v, int[] c, List<long[]> comb1, int s) {if (u == n) {int l = 0, r = comb1.size() - 1;while (l < r) {int mid = l + (r - l + 1 >> 1);if (comb1.get(mid)[0] + sc <= s) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}res = Math.max(res, comb1.get(l)[1] + sv);return;}dfs2(u + 1, n, sv, sc, v, c, comb1, s);if (sc + c[u] <= s) {dfs2(u + 1, n, sv + v[u], sc + c[u], v, c, comb1, s);}}
}

时间复杂度O(n2n/2)O(n2^{n/2})O(n2n/2)，空间O(2n/2)O(2^{n/2})O(2n/2)。

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