伯特兰-切比雪夫定理

内容

对于一个整数nnn，且n>3n>3n>3，则至少存在一个素数ppp，且这个素数符合n<p<2n−2n<p<2n-2n<p<2n−2。

另一种说法：对于一个任意大于111的整数nnn，至少存在一个素数ppp，符合n<p<2nn<p<2nn<p<2n。

例题 P5535 【XR-3】小道消息

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思路

考虑当这个人为素数时，他会告诉谁？

因为一个素数ppp能够保证互质的一个区间为[2,2p−1][2, 2p-1][2,2p−1]，因此，需要对其分类讨论。

考虑n范围内有没有存在其倍数，如果有那还得多一天告诉（如果有多个倍数的话，考虑到之前转达消息的时候也会转达到林外一个素数，所以在第二天的时候都会被告诉）
如果没有其倍数的话，那么显然一天就转达完成了（因为剩下的数字都是互质的）

考虑这个人不是个素数，他会告诉谁？由题意可得这个数字只能告诉范围内的素数，而剩下的素数又会和上面的情况相同（除了现在的素数是多个，也就是说就算有存在素数的倍数也会被转达消息）

因此，判断下这个数是不是素数，再判断下范围内还有没有其倍数就可以了。

代码

c++

一种可行的c++代码实现。

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {a = (a % p + p) % p;b = (b % p + p) % p;ll d = static_cast<long double>(a) * b / p;d = a * b - d * p;if (d >= p)d -= p;if (d < 0)d += p;return d;
}
inline ll pow(ll a, ll i, ll p) {ll res = 1;while (i) {if (i & 1)res = mul(res, a, p);a = mul(a, a, p);i >>= 1;}return res;
}
constexpr int A[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23};
inline bool isprime(ll n) {if (n == 2) return true;if (n < 2 || (n & 1) == 0)return false;ll d = n - 1, s = 0;while (d % 2 == 0) {d /= 2;s ++;}for (auto a : A) {if (n == a) {return true;}ll x = pow(a, d, n);if (x == 1 || x == n - 1) continue;bool ok = false;for (int j = 1; j < s; ++ j) {x = mul(x, x, n);if (x == n - 1) {ok = true;break;}}if (!ok) {return false;}} return true;
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);ll n, k;std::cin >> n >> k;if (isprime(k + 1) && (k << 1) >= n) {std::cout << 1;} else {std::cout << 2;}return 0;
}

python

一种可行的python代码实现。

def power(a : int, i : int, p : int) -> int:res = 1while i > 0:if i & 1:res = res * a % pa = a * a % pi >>= 1return resA = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21]def isprime(n : int) -> bool:if n == 2:return Trueif n < 2 or n % 2 == 0:return Falsed, s = n - 1, 0while (d & 1) == 0:d >>= 1s += 1for a in A:if n == a:return Truex = power(a, d, n)if x == 1 or x == n - 1:continuej = 1ok = Falsewhile j < s:j += 1x = x * x % nif x == n - 1:ok = Truebreakif not ok:return Falsereturn Trueif __name__ == "__main__":n, k = map(int, input().split())if (isprime(k + 1) and k * 2 >= n):print(1)else:print(2)

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